“자료가 7개니까 가운데 있는 4번째 값이 중앙값이고, 평균은 전부 더해서 7로 나누면 되죠.” 수원에서 중3수학 과외를 받던 학생은 이렇게 말한 뒤, 실제 자료에 24와 80이 함께 들어가자 평균과 중앙값을 같은 의미로 설명했다. 계산 결과만 보면 답을 구한 것처럼 보였지만, 대표값 비교 문제에서는 숫자를 계산하는 것보다 자료의 분포와 이상값이 각 대표값에 어떤 영향을 주는지 판단해야 했다.
수원중3수학과외, 평균·중앙값·최빈값을 숫자 변화로 검증하기
처음 제시한 자료는 어느 주 동안 학생이 푼 문제 수였다.
18, 20, 20, 21, 22, 23, 24
학생은 평균을 21이라고 계산했고 중앙값도 21이라고 적었다. 평균은 실제로
(18+20+20+21+22+23+24)÷7=148÷7
이므로 약 21.14이다. 중앙값은 크기순으로 정렬된 일곱 자료의 네 번째 값인 21이다. 최빈값은 두 번 나온 20이다. 학생의 답 중 중앙값만 맞았고, 평균을 정수로 바꿔 적은 것과 최빈값을 빠뜨린 것이 문제였다.
평균을 먼저 계산하고 반올림한 이유를 확인하다
학생은 148÷7을 계산한 뒤 소수 부분을 지우고 21이라고 썼다. 문제에서 반올림하라는 조건이 없었으므로 21.14…를 21로 바꾸면 안 된다. 평균을 구할 때는 자료의 합과 자료의 개수를 따로 표시하고, 마지막에 문제에서 요구한 자리까지 표현해야 한다. 만약 “소수 첫째 자리까지”라는 조건이 있다면 21.1이 되지만, 그런 조건이 없다면 정확한 값은 148/7 또는 약 21.14이다.
이때 중학교 앞뒤의 생활권이나 통학 경로가 다르다고 해서 자료의 대표값을 임의로 해석해서는 안 된다. 수원에는 경기체육중학교, 고색중학교, 곡반중학교, 곡선중학교, 광교중학교, 광교호수중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 매교동·곡반정동·구운동·권선동·서둔동·세류동 학생 전체의 동일한 학습 상황으로 묶을 수는 없다. 실제 과외에서는 학교 이름보다 학생이 다루는 시험 자료의 개수, 자료값의 범위, 주간 일정에 따라 대표값 판단 과정을 조정한다.
자료 하나가 바뀌자 세 대표값의 역할이 달라졌다
이후 24를 80으로 바꾼 자료를 제시했다.
18, 20, 20, 21, 22, 23, 80
학생은 “평균은 조금 커지고 중앙값은 그대로니까 대표값도 거의 같다”고 말했다. 중앙값은 여전히 네 번째 값인 21이고, 최빈값도 20이다. 그러나 평균은
(18+20+20+21+22+23+80)÷7=204÷7
이므로 약 29.14로 크게 올라간다. 80이라는 하나의 큰 값이 평균을 끌어올렸지만, 자료의 가운데 위치를 나타내는 중앙값과 가장 자주 나타나는 값을 나타내는 최빈값에는 영향을 주지 않았다.
학생이 수정한 설명은 “평균은 모든 자료를 계산에 사용하므로 큰 값이나 작은 값의 영향을 받는다. 중앙값은 크기순으로 배열했을 때 가운데 위치를 본다. 최빈값은 가장 많이 반복된 값이다”였다. 단순히 정의를 외운 것이 아니라 같은 자료에서 값의 변화 결과를 비교해 말하도록 했다.
자료의 개수가 짝수일 때 중앙값을 한 값으로 고정하지 않기
다음에는 자료를 하나 더 추가했다.
18, 20, 20, 21, 22, 23, 24, 80
학생은 가운데 값이 21이라고 답했지만, 자료가 8개이면 네 번째와 다섯 번째 값의 평균을 구해야 한다. 중앙값은
(21+22)÷2=21.5
이다. 여기서 학생이 먼저 한 행동은 자료를 다시 정렬하는 것이 아니라 기존 답안의 21을 그대로 옮기는 것이었다. 그래서 문제지에 자료의 개수를 적고, 홀수인지 짝수인지 표시한 뒤 중앙값의 위치를 정하도록 바꾸었다. 홀수 자료에서는 하나의 가운데 값, 짝수 자료에서는 가운데 두 값의 평균이라는 구분을 풀이 첫 줄에 남겼다.
대표값을 고르는 문제에서 설명의 근거를 붙이다
“어떤 대표값이 자료를 가장 잘 나타내는가?”라는 질문에는 숫자 하나만 적을 수 없다. 자료에 특별히 큰 값이나 작은 값이 포함되어 있는지, 같은 값이 반복되는지, 자료의 중심을 어떤 방식으로 보여주려는지 확인해야 한다.
예를 들어 18, 20, 20, 21, 22, 23, 80에서는 평균 약 29.14만 보면 대부분의 자료가 29 부근에 있는 것처럼 오해할 수 있다. 실제 자료 여섯 개는 18부터 23 사이에 모여 있고 80은 다른 값들과 큰 차이가 있다. 따라서 자료의 일반적인 가운데를 나타내려면 중앙값 21이 평균보다 적절할 수 있다. 반대로 모든 자료의 합을 일정하게 나누어 전체 수준을 비교하는 상황이라면 평균이 필요하다. 최빈값 20은 반복된 자료를 확인할 때 의미가 있지만, 모든 자료에 반드시 존재하거나 하나만 정해지는 것은 아니다.
학생에게는 대표값을 선택할 때 “자료에 이상하게 큰 값이 있는가?”, “자료를 정렬했는가?”, “반복되는 값이 있는가?”를 차례로 묻도록 했다. 이는 공식을 더 많이 외우는 방식이 아니라 문제의 조건에 따라 첫 행동을 정하는 훈련이다.
새로운 표현에서도 같은 판단을 꺼내는지 확인하다
마지막 검증에서는 문제의 문장을 바꾸고 자료를 새로 제시했다.
12, 13, 13, 14, 15, 16, 17, 45
학생은 먼저 자료를 크기순으로 확인하고, 자료의 개수가 8개임을 표시했다. 평균은
(12+13+13+14+15+16+17+45)÷8=145÷8=18.125
중앙값은 (14+15)÷2=14.5, 최빈값은 13이다. 이어 “45가 포함되어 평균은 자료 대부분의 값보다 높아졌다. 가운데 자료를 보고 싶다면 중앙값이 더 적절하다”고 설명했다. 앞의 답을 기억해 옮긴 것이 아니라 숫자와 이상값의 위치가 바뀐 새 조건에서 같은 판단 근거를 사용한 것이다.
수원 지역에서 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간이 다를 수 있는 만큼, 대표값 비교도 한 가지 풀이 문장으로 고정하지 않는다. 평균·중앙값·최빈값을 각각 계산한 뒤, 자료의 분포와 구하는 목적을 근거로 선택할 수 있을 때 변형 문제에서도 독립 적용이 가능하다고 판단한다.