송파구중2수학과외, 확률의 분모를 ‘전체 숫자’로 정하지 않는 연습
확률 문제에서 학생이 자주 쓰는 식은 ‘원하는 경우의 수÷문제에 나온 숫자’이다. 그러나 문제에 등장한 숫자가 모두 전체 경우를 뜻하는 것은 아니다. 확률의 분모는 가능한 모든 결과의 수이며, 어떤 실험을 하고 무엇을 한 번의 결과로 볼 것인지 정한 뒤 결정해야 한다. 송파구중2수학과외에서는 정답을 먼저 확인하지 않고, 첫 단계와 사용한 개념만 백지에 다시 쓰게 하면서 이 판단 과정을 점검한다.
문제의 숫자보다 먼저 확인할 것
예를 들어 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있고 공 하나를 꺼낼 때 빨간 공이 나올 확률을 구한다면 전체 공의 수는 5개이다. 따라서 확률은 3/5이다. 여기서 문제에 나온 숫자를 모두 더하는 방식은 우연히 맞은 것이 아니라, 빨간 공과 파란 공이 각각 가능한 결과를 나누어 구성하기 때문에 맞는다.
하지만 두 개의 주사위를 던져 눈의 합이 5가 되는 확률을 묻는다면 분모는 문제에 적힌 숫자 5가 아니다. 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위의 결과를 순서 있는 한 쌍으로 보면 전체 경우의 수는 6×6=36이다. 합이 5인 경우는 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)의 4가지이므로 확률은 4/36=1/9이다. ‘합이 5’라는 숫자는 조건에 해당할 뿐 전체 경우의 수가 아니다.
현재 학습에서 드러나는 행동
이 유형을 틀린 학생은 문제를 읽자마자 눈에 띄는 수를 분모 자리에 적는다. ‘공 4개 중 1개’, ‘합이 7’, ‘남학생 12명’처럼 문장 속 숫자를 먼저 찾고, 가능한 결과를 직접 세지 않는다. 풀이를 설명해 달라고 하면 “전체가 이 숫자라서요”라고 말하지만, 어떤 결과들을 전체로 정했는지는 말하지 못한다.
시험 뒤에는 틀린 이유를 계산 실수라고 표시하고 다음 문제로 넘어가기도 한다. 실제로는 계산보다 앞선 단계인 표본공간 설정에서 멈춘 것이다. 확률 단원이 경우의 수와 연결되는 시점에는 ‘전체’를 수치로 외우기보다 결과의 범위를 정해야 한다.
분모를 쓰기 전, “한 번의 실험에서 나올 수 있는 결과를 빠짐없이 세었는가?”를 먼저 묻는다.
백지에 남기는 세 줄
수업에서는 틀린 답을 곧바로 지우지 않는다. 정답을 가린 뒤 백지에 다음 세 줄만 쓰게 한다.
- 무엇을 한 번 시행하는가
- 가능한 결과를 어떤 단위로 세는가
- 그중 사건에 해당하는 결과는 무엇인가
주사위 두 개 문제라면 ‘주사위 두 개를 한 번 던진다’, ‘첫째 주사위 눈과 둘째 주사위 눈의 순서쌍으로 센다’, ‘합이 5인 순서쌍은 네 가지’라고 적는다. 그 뒤 분모 36과 분자 4를 대입한다. 공을 한 개 뽑는 문제라면 색깔만 결과로 볼 수 있는지, 각각의 공을 구별해야 하는지 문제 조건을 확인한다. 공의 개수가 서로 다르면 색깔별 개수로 세는 것이 자연스럽지만, 두 번 뽑거나 순서를 묻는다면 결과의 단위가 달라질 수 있다.
같은 개념을 다른 모양으로 확인하기
다음 날에는 같은 숫자를 반복하지 않는다. 1부터 4까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑아 짝수가 나올 확률을 묻는 문제에서는 전체 4가지, 유리한 경우 2가지이므로 1/2이다. 이어서 카드를 두 장 연속 뽑아 첫 번째 카드가 2이고 두 번째 카드가 홀수인 경우를 제시한다. 이때 카드를 다시 넣는지 여부가 조건에 포함되어 있는지 확인하게 한다. 조건이 없다면 임의로 결과를 완성하지 않고, 필요한 정보가 부족하다고 표시한다.
또 다른 문제에서는 주사위 두 개의 눈의 차가 2인 경우를 묻는다. 전체는 36가지이고, 가능한 순서쌍은 (1,3), (2,4), (3,1), (4,2), (3,5), (4,6), (5,3), (6,4)로 8가지이므로 확률은 8/36=2/9이다. 학생이 (1,3)과 (3,1)을 같은 경우로 합치면 순서를 세는 기준이 흔들린 것이다. 이때 표를 직접 그려 행과 열을 구분하고, 한 칸씩 표시하게 한다.
시험과 과제 사이에도 끊기지 않게
수행평가가 있는 주에는 지필 오답 풀이를 며칠씩 미루기보다 10분 단위의 짧은 기록을 남긴다. 문제 전체를 다시 풀지 않고, 분모를 정하기 전 적어야 할 시행과 결과 단위만 백지에 작성한다. 다음 학습일에는 숫자와 사건을 바꾼 새 문제를 한 개 선택해 분모를 먼저 말한 뒤 식을 세운다. 이렇게 해야 답을 외워 재현하는 것이 아니라 판단 절차를 유지할 수 있다.
송파구에는 가락중학교, 가원중학교, 거원중학교, 문정중학교, 문현중학교, 방산중학교 등이 대표 학교로 확인되며, 학생의 실제 통학 학교와 생활권은 개별적으로 다를 수 있다. 가락동·거여동·문정동·방이동·삼전동·석촌동 등 이동 범위와 학교 일정에 따라 학습 시간이 달라질 수 있으므로, 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다 학교 프린트와 학생이 남긴 풀이를 기준으로 진도를 조정한다. 송파파인타운 등 주거 생활권 학생도 이동 시간을 고려해 짧은 백지 훈련을 배치할 수 있다.
독립 검증 기준
마지막에는 두 주사위 문제를 다시 내지 않는다. 카드, 공, 주사위처럼 도구를 바꾸고, ‘짝수’, ‘합’, ‘차’, ‘적어도 한 번’처럼 사건 표현도 바꾼다. 학생은 제한 시간 안에 시행, 결과 단위, 전체 경우, 사건 경우를 차례로 기록해야 한다. 분모를 문제 속 숫자로 임의 결정하지 않고 조건에 맞는 표본공간을 설명하며 식을 세우면 이 항목을 마친 것으로 본다.
FAQ
확률의 분모는 항상 숫자를 모두 더한 값인가요?
아닙니다. 가능한 결과를 어떤 단위로 세는지에 따라 달라집니다. 두 주사위의 전체 경우는 6+6이 아니라 6×6=36입니다.
조건이 부족하면 어떻게 하나요?
카드를 다시 넣는지처럼 결과에 영향을 주는 조건이 빠졌다면 임의로 정하지 말고 정보 부족을 표시합니다.
분모를 먼저 외우면 안 되나요?
분모 숫자를 외우기보다 시행과 가능한 결과를 먼저 정해야 합니다. 숫자가 바뀐 문제에서도 같은 기준을 적용할 수 있어야 합니다.