오금동중1수학과외, 식보다 변화 방식으로 정비례와 반비례를 구별하는 연습
“시간이 두 배가 되면 거리도 두 배니까 정비례, 맞죠?”
중1 학생이 정비례와 반비례 문제를 처음 풀 때 자주 하는 말이다. 숫자의 크기만 비교하면 쉽게 판단할 수 있을 것 같지만, 실제 문장제에서는 두 양이 어떻게 함께 변하는지를 읽어야 한다. 오금동중1수학과외에서는 먼저 식을 외우게 하기보다 한 양이 변할 때 다른 양이 어떤 방식으로 달라지는지 말과 표로 확인한 뒤 식으로 옮기는 과정을 연습할 수 있다.
두 양의 변화 방향부터 말로 확인하기
정비례는 한 양이 일정한 비율로 커질 때 다른 양도 같은 비율로 커지는 관계다. 예를 들어 1개에 800원인 물건의 개수와 가격을 생각하면 다음과 같다.
개수가 1개, 2개, 3개로 늘어나면 가격은 800원, 1600원, 2400원이 된다. 개수가 2배가 될 때 가격도 2배가 되고, 개수가 3배가 될 때 가격도 3배가 된다. 이때 가격을 y, 개수를 x라 하면 y=800x로 나타낼 수 있다.
반비례는 한 양이 커질수록 다른 양이 일정한 비율로 작아지는 관계다. 12km의 거리를 일정한 속력으로 이동할 때 속력과 걸리는 시간을 비교해 보자. 속력이 시속 3km이면 4시간, 시속 4km이면 3시간, 시속 6km이면 2시간이 걸린다. 속력이 2배가 되면 시간은 절반이 된다. 이때 속력과 시간의 곱은 12로 일정하므로 y=12/x로 나타낼 수 있다.
식부터 고르려 할 때 생기는 오답
예를 들어 “사과 한 개의 가격이 1000원일 때 사과 x개의 가격을 y원이라 하자”라는 문제에서 학생이 y=x+1000이라고 쓰는 경우가 있다. 숫자 1000이 문제에 보였기 때문에 더하기 식으로 연결한 것이다. 하지만 사과의 개수에 따라 같은 가격 1000원이 반복되므로 y=1000x가 되어야 한다.
반대로 “일정한 거리를 이동할 때 속력 x와 시간 y”의 관계에서 학생이 y=12x라고 쓰기도 한다. 속력이 빨라질수록 시간이 줄어드는 상황인데, 정비례 식을 기계적으로 적용한 결과다. 이때는 속력과 시간의 곱이 일정한지 먼저 확인해야 한다.
또 다른 오류는 표의 숫자만 보고 정비례라고 판단하는 것이다. x가 1, 2, 3이고 y가 6, 12, 18이면 y/x가 모두 6이므로 정비례다. 그러나 x가 1, 2, 3이고 y가 12, 6, 4라면 y/x는 일정하지 않지만 xy는 모두 12이므로 반비례다.
학생이 직접 사용하는 세 칸 확인법
문제를 읽은 뒤 바로 식을 쓰지 않고 종이에 다음 세 칸을 만든다.
- 첫 번째 칸: 두 양은 무엇인가?
- 두 번째 칸: 한 양이 2배가 되면 다른 양은 어떻게 되는가?
- 세 번째 칸: 일정한 값은 비율인가, 곱인가?
예를 들어 “가로의 길이가 5cm인 직사각형의 넓이 y㎠와 세로의 길이 xcm”라는 문제에서는 넓이 y가 5x이므로 정비례다. 세로가 2배가 되면 넓이도 2배가 되고 y/x=5가 일정하다.
반면 “넓이가 24㎠인 직사각형의 가로 xcm와 세로 ycm”에서는 xy=24이므로 반비례다. 가로가 2cm일 때 세로는 12cm, 가로가 3cm일 때 세로는 8cm다. 가로가 커질수록 세로가 작아지고 두 수의 곱이 일정하다.
이때 단위를 생략하지 않는 것도 중요하다. 거리와 시간을 비교하면서 분과 시간을 섞거나, 가격을 원 단위와 천 원 단위로 바꾸지 않고 계산하면 관계를 잘 찾고도 답을 틀릴 수 있다. 학생은 표를 만들 때 각 양의 단위까지 함께 적고, 식을 세운 뒤 한 행을 골라 대입한다.
학교 프린트의 긴 문장을 짧은 표로 바꾸기
수행평가 일정이나 학교 프린트가 겹치는 시기에는 긴 문장을 읽고 곧바로 식을 세우려는 행동이 많아진다. 오금역과 오금동 생활권에서 학교별 귀가 시간이 달라질 수 있으므로, 학습 시간 자체를 정비례나 반비례로 단정하기보다는 실제 수학 문제의 양 사이 관계를 표로 정리하는 것이 우선이다.
예를 들어 “같은 속력으로 30분 동안 이동한 거리”라는 문장에서 시간을 분 단위로 통일한 뒤, 시간 10분·20분·30분에 대응하는 거리를 표로 적는다. 시간이 2배가 되면 거리도 2배인지 확인하고 정비례 식을 세운다. “일정한 양의 일을 여러 명이 나누어 할 때 걸리는 시간”이라면 사람 수와 시간을 표로 만든 뒤 곱이 일정한지 확인한다.
변형문제로 독립 적용 여부 확인하기
같은 숫자의 문제를 바로 다시 맞히는 것만으로는 구별 능력이 확인되지 않는다. 다음 날에는 상황과 숫자를 바꾼다. 정비례 문제를 물건의 개수와 가격에서 시간과 이동 거리로 바꾸고, 반비례 문제는 속력과 시간에서 사람 수와 작업 시간으로 바꾼다.
예를 들어 “시속 5km로 2시간 이동한 거리”를 다룬 뒤에는 “시속 8km로 3시간 이동한 거리”를 제시한다. 학생이 단순히 y=5x를 복사하지 않고, 새 상황에서 일정한 속력과 시간을 곱해 거리를 구하는지 확인한다. 반비례에서는 사람 수가 4명일 때 6시간 걸리는 일을 8명이 하면 몇 시간인지 묻고, 4×6=8×y에서 y=3을 얻는지 살핀다.
마지막에는 관계를 고른 이유를 한 문장으로 쓰게 한다. “x가 2배가 될 때 y도 2배이고 y/x가 일정하므로 정비례이다.” 또는 “x가 커질수록 y가 작아지고 xy가 일정하므로 반비례이다.” 식만 맞히는 것이 아니라 변화 방향, 일정한 값, 단위를 함께 확인할 수 있을 때 새로운 문장제에서도 정비례와 반비례를 안정적으로 구별할 수 있다.