신천동중2수학과외, 전체 경우와 사건을 나눠 확률식을 세우는 연습
확률 문제에서 답을 빠르게 고르는 학생도 전체 경우와 사건에 해당하는 경우를 구분하는 순간 멈추는 일이 있습니다. 신천동의 중2 학생을 지도할 때는 공식을 먼저 외우게 하기보다, 무엇을 모두 세었고 그중 무엇을 유리한 사건으로 정했는지 목록으로 확인하게 합니다. 문제의 숫자나 상황이 바뀌어도 같은 구조를 찾아야 하기 때문입니다.
문제는 계산보다 목록의 기준에서 시작된다
예를 들어 주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 있고 공을 한 개 뽑는다고 하겠습니다. 빨간 공이 나올 확률은 전체 공 5개 중 사건에 해당하는 빨간 공 2개이므로 2/5입니다. 이때 학생이 해야 할 일은 전체 경우를 5개, 사건 경우를 2개로 각각 적는 것입니다.
하지만 공의 색만 보고 전체를 ‘빨강, 파랑’ 두 가지로 적으면 안 됩니다. 공 하나하나가 똑같은 가능성을 가진다고 볼 수 있을 때에는 빨강 2개와 파랑 3개를 따로 세어야 합니다. 확률식은 사건의 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누어 세우므로, 분모와 분자를 어떤 기준으로 정했는지가 계산보다 먼저입니다.
신천동 학생에게서 확인한 실제 행동
답지를 가리고 다음 날 다시 풀게 했을 때 한 학생은 지수법칙을 덧셈에도 적용하는 식의 오류를 보였습니다. 그러나 확률 단원에서는 그와 비슷하게 문제에 나온 수를 한꺼번에 계산하려는 행동이 나타났습니다. ‘빨간색이 2개니까 2를 쓰고, 전체는 3이니까 3을 쓴다’며 색의 종류와 실제 물건의 개수를 구분하지 않았습니다.
또 수업에서 배운 풀이와 다른 방식이 나오면 맞는 접근인지 확인하지 않고 답만 비교했습니다. 두 번 뽑는 문제에서는 순서를 고려해야 하는지 확인하지 않은 채 빨강-파랑과 파랑-빨강을 하나로 합치기도 했습니다. 이는 단순 계산 실수가 아니라 전체 경우의 기준, 사건의 조건, 중복 여부를 점검하지 않은 경우의 수 설정 오류입니다.
확률식을 쓰기 전 세 칸으로 나누기
첫 단계에서는 문제의 대상을 그대로 목록으로 적습니다. 동전을 두 번 던진다면 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤처럼 전체 경우를 씁니다. 둘째 단계에서는 사건 조건에 해당하는 항목에만 표시합니다. 앞면이 한 번 나오는 사건이라면 앞뒤와 뒤앞에 표시합니다. 셋째 단계에서 표시한 개수를 분자, 전체 목록의 개수를 분모에 넣어 2/4로 씁니다.
- 전체 경우: 가능한 결과를 빠짐없이 적기
- 사건 경우: 문제에서 요구한 조건에 맞는 결과만 표시하기
- 확률식: 사건의 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수
- 마지막 확인: 분자가 분모보다 크지 않은지, 같은 결과를 중복 세지 않았는지 보기
두 개의 주사위를 던져 합이 5가 되는 확률을 구할 때는 순서가 있는 쌍으로 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)을 적습니다. 전체는 6×6=36가지이고 사건은 4가지이므로 확률은 4/36=1/9입니다. (1,4)와 (4,1)을 같은 것으로 지우면 사건 경우를 잘못 세게 됩니다.
학교 일정 안에서 짧게 끊어 확인하기
신천동 소재 중학교로 확인되는 학교는 잠실중학교입니다. 같은 송파구의 가락중학교, 가원중학교, 거원중학교, 문정중학교는 참고할 수 있는 학교이지만 신천동 소재 학교로 단정하지 않습니다. 학교별 시험 범위나 수행평가 일정은 실제 안내문을 기준으로 확인해야 하므로, 지도 계획도 학교 프린트와 수행평가 자료를 먼저 살핀 뒤 정합니다.
평일 귀가 시간이 늦은 주에는 새로운 문제를 많이 추가하지 않고, 수행평가 자료의 확률 문항을 지필형으로 바꾸어 목록 작성부터 다시 확인합니다. 한 문제를 오래 붙잡기보다 10분 동안 전체 경우와 사건 경우를 각각 적고, 다음 날 숫자와 조건을 바꾼 문제로 독립 적용을 확인합니다.
다음 날에는 같은 문제를 다시 주지 않는다
첫 문제에서 동전을 사용했다면 검증에서는 주사위나 공 뽑기로 대상을 바꿉니다. ‘짝수가 나오는 확률’처럼 조건을 바꾸고, 두 번 뽑기에서는 순서를 고려하는지 묻습니다. 학생은 전체 목록을 먼저 만들고 사건에 표시한 뒤 식을 세워야 합니다.
예를 들어 1부터 4까지의 숫자가 하나씩 적힌 카드 중 두 장을 차례로 뽑을 때, 첫 번째 카드가 1이고 두 번째 카드가 짝수인 경우를 묻는다면 전체 경우는 4×3=12가지입니다. 조건에 맞는 경우는 (1,2), (1,4) 두 가지이므로 확률은 2/12=1/6입니다. 카드가 두 장 동시에 뽑힌다고 바꾸면 순서 목록을 그대로 사용할 수 없으므로 조건에 맞는 세기 방식을 다시 정해야 합니다.
확률식이 맞는지는 답만으로 판단하지 않습니다. 전체 목록이 빠짐없이 만들어졌는지, 사건 조건이 모두 반영되었는지, 순서를 중복하거나 누락하지 않았는지를 확인해야 합니다.
과외에서 종료 기준을 분명히 둔다
학생이 문제를 한 번 맞혔다고 바로 끝내지 않습니다. 목록의 기준을 말로 설명하고, 다른 도구와 조건에서도 같은 절차를 유지하는지 확인합니다. 숫자, 뽑는 방식, 순서 조건을 바꾼 세 문제 중 두 문제 이상에서 전체 경우와 사건 경우를 정확히 구분하고, 제한 시간 안에 식까지 작성하면 해당 유형을 일단 마칩니다.
자주 묻는 질문
경우를 모두 적어야 하나요?
경우의 수가 적을 때는 목록이 가장 안전합니다. 경우가 많아지면 곱셈 원리 등을 사용할 수 있지만, 처음에는 목록으로 기준을 확인한 뒤 식으로 줄이는 것이 좋습니다.
순서를 항상 구분하나요?
차례로 뽑거나 던진 순서가 결과에 영향을 주면 구분합니다. 동시에 뽑는 문제라면 순서를 구분하지 않는지 문제 조건을 먼저 읽어야 합니다.
확률이 1보다 커지면 어떻게 하나요?
사건의 경우의 수가 전체 경우의 수보다 커졌다면 목록이나 분모 설정을 다시 확인해야 합니다. 확률은 0 이상 1 이하입니다.