삼전동중3수학과외, 원점을 지나는 그래프의 변형 조건까지 읽는 연습
“원점을 지나니까 y=ax로 쓰면 되죠”라는 답에서 멈추지 않기
중3 학생이 다음 문제를 보고 식을 적었다.
점 A(2, 6)을 지나고 원점을 지나는 직선의 식을 구하여라.
학생은 곧바로 y=3x라고 썼고 답도 맞혔다. 하지만 이어서 “이 직선을 위로 4만큼 평행이동한 그래프가 점 (2, 10)을 지나는가?”라는 질문을 받자 다시 원점을 대입해 “지난다”고 답했다. 처음 문제의 숫자를 기억한 것이지, 그래프의 조건이 바뀌었을 때 무엇을 먼저 확인해야 하는지는 아직 분리하지 못한 장면이다.
이 단원에서 중요한 것은 원점을 지나는 직선의 기울기를 구하는 데서 끝나지 않는다. 원점을 지난다는 조건은 y=ax의 절편이 0이라는 뜻이고, 그래프를 이동하거나 다른 점을 제시하면 절편과 기울기를 각각 다시 판단해야 한다. 삼전동중3수학과외에서는 학생이 식을 외워 쓰는지, 좌표와 그래프의 변화를 연결해 설명하는지를 함께 확인한다.
원점을 지나는 조건은 기울기와 절편을 나누어 읽어야 한다
일차함수의 기본형은 y=ax+b이다. 그래프가 원점 (0, 0)을 지나면
0= a×0+b
이므로 b=0이다. 따라서 원점을 지나는 일차함수는 y=ax로 정리된다. 여기서 a는 그래프가 얼마나 가파르게 올라가거나 내려가는지를 나타내는 기울기다.
학생이 자주 하는 실수는 한 점의 y좌표만 보고 식을 정하는 것이다. 예를 들어 원점을 지나면서 (-3, 6)을 지나는 그래프라면 기울기는
a = 6 ÷ (-3) = -2
이므로 식은 y=-2x이다. 음수 x와 양수 y를 보고 기울기를 양수로 바꾸면 안 된다. 두 점을 이용할 때는 y의 변화량을 x의 변화량으로 나누고, 원점과 주어진 점을 연결한다는 절차가 필요하다.
학생의 첫 풀이에서 확인한 한 줄
학생에게 (4, -12)를 지나고 원점을 지나는 그래프의 식을 묻자 다음처럼 적었다.
y=12x학생은 12를 4로 나누는 과정에서 음수 부호를 빠뜨렸다. 이때 “부호를 조심하자”고만 말하면 다음 문제에서 같은 실수가 반복된다. 수정 행동은 점의 좌표를 먼저 표로 옮기는 것이다.
- x좌표: 4
- y좌표: -12
- 기울기:
-12÷4=-3 - 식:
y=-3x
그다음 x=4를 식에 대입해 y=-12가 나오는지 확인한다. 원점을 대입했을 때도 0=-3×0이므로 조건을 만족한다. 기울기를 구한 뒤 두 조건을 각각 대입하는 습관이 오답을 직접 줄인다.
그래프를 이동하면 원점을 지나는 조건은 그대로 남지 않는다
원점을 지나는 그래프 y=2x를 위로 3만큼 옮기면 모든 점의 y좌표가 3씩 증가한다. 새 식은
y=2x+3
이다. 기울기 2는 그대로지만 y절편은 3이 되므로 원점을 지나지 않는다. 학생이 원점을 대입해 0=2×0+3을 계산하면 등식이 성립하지 않는다는 사실을 즉시 확인할 수 있다.
반대로 아래로 3만큼 이동하면 y=2x-3이 된다. 오른쪽으로 4만큼 이동한 경우에는 x 대신 x-4를 넣어
y=2(x-4)=2x-8
으로 나타낸다. 이 역시 기울기는 2지만 y절편은 -8이다. “원점을 지나는 그래프를 이동했으니 새 그래프도 원점을 지난다”는 판단은 이동 전 조건과 이동 후 조건을 섞은 것이다.
같은 기울기라도 지나가는 위치는 달라진다
y=3x, y=3x+2, y=3x-5를 비교하면 세 그래프의 기울기는 모두 3이다. 따라서 서로 평행하지만 y절편은 각각 0, 2, -5로 다르다. 학생에게 세 식 중 원점을 지나는 그래프를 고르게 하면 계수 3만 보는지, 상수항까지 확인하는지 알 수 있다.
반대로 y=3x를 원점을 중심으로 회전하는 문제처럼 단순한 평행이동이 아닌 변형에서는 문제에 주어진 변환 규칙을 먼저 읽어야 한다. 그래프의 모양이 비슷하다는 이유로 절편을 그대로 두지 않고, 새 식을 만든 뒤 원점 대입과 주어진 점 대입을 순서대로 실행해야 한다.
좌표표를 만들면 그림의 이동을 식으로 바꾸기 쉬워진다
학생이 그래프를 보고 “위로 갔다”고 말하면서도 식을 y=2x-4로 쓰는 경우가 있었다. 이때 그림을 다시 오래 보게 하기보다 원래 그래프와 변형된 그래프에서 x=0일 때의 y값을 각각 읽게 했다.
- 원래 그래프:
(0, 0) - 위로 4만큼 이동한 그래프:
(0, 4)
기울기가 변하지 않았으므로 새 식은 y=2x+4이다. x=3을 넣으면 y=10이 되어 변형된 그래프 위의 점 (3, 10)도 확인할 수 있다. 그림을 식으로 옮길 때는 먼저 절편을 읽고, 그다음 기울기를 확인하는 순서가 안정적이다.
삼전동에서 수업 시간을 정할 때도 풀이 순서를 먼저 본다
삼전역과 잠실현대아파트가 확인되는 삼전동 생활권에서 중학생의 수업 시간을 정할 때는 학교 선택을 단정하기보다 귀가 시각과 과제 수행 시간을 함께 점검하는 편이 현실적이다. 삼전동 소재 중학교로 확인된 배명중학교와 송파구 내 참고 학교인 가락중학교·가원중학교·거원중학교·문정중학교는 구분해서 살펴봐야 하며, 참고 학교를 삼전동 학교로 표현해서는 안 된다.
수업에서는 학교별 출제경향을 임의로 가정하지 않고, 학생이 실제로 가져온 프린트나 오답에서 원점을 지나는 그래프와 변형 문제를 확인한다. 귀가 후 바로 문제를 풀기 어려운 날에는 기울기 계산, 절편 확인, 대입 검산처럼 짧게 끝나는 절차를 나누어 기록하게 한다.
새 숫자와 새 이동 조건에서 혼자 식을 세우는가
마지막에는 앞서 풀었던 y=2x를 다시 묻지 않고 조건을 바꾼다.
직선 y=-3x를 아래로 2만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하고, 원점을 지나는지 판단하여라.
학생은 먼저 기울기 -3은 변하지 않는다고 적고, 아래로 2만큼 이동하므로 y절편이 -2가 된다고 설명해야 한다. 새 식은 y=-3x-2이다. 원점을 대입하면 0≠-2이므로 원점을 지나지 않는다.
이어 오른쪽으로 1만큼 이동한 그래프를 묻는다. 학생이 y=-3(x-1)=-3x+3이라고 스스로 만들고, 원점 대입 결과가 성립하지 않음을 확인한다면 정답을 기억한 것이 아니라 변형된 조건에서 기울기와 절편을 다시 분리해 적용한 것이다.