삼전동중1수학과외, 도형 조건을 기호로 옮긴 뒤 풀이를 시작하는 연습
“이 두 변이 같고, 이 각도 같은데… 이제 뭘 써야 해요?”
중1 도형 문제에서 자주 보이는 장면이다. 학생은 그림을 보고 길이와 각의 관계를 어느 정도 읽지만, 문제에 주어진 조건을 그림 위에 표시하지 않은 채 곧바로 공식을 찾는다. 그러면 풀이 중간에 이미 사용한 조건과 아직 쓰지 않은 조건이 섞이고, 평행이라는 정보가 있어도 엇각이나 동위각을 연결하지 못한다.
삼전동에서 중1수학 학습을 점검할 때도 배명중학교의 현행 시험범위와 학교 프린트를 먼저 기준으로 삼고, 같은 송파구의 가락중학교·가원중학교·거원중학교·문정중학교 자료는 해당 지역 학교로 단정하지 않고 참고 범위로만 구분해야 한다. 학교 선택보다 중요한 것은 귀가 후 과제와 시험 준비 순서 속에서 도형 조건을 실제 풀이 행동으로 바꾸는지 확인하는 일이다.
그림을 보는 것과 조건을 사용하는 것은 다르다
예를 들어 다음과 같은 문제가 있다고 하자.
삼각형 ABC에서 AB＝AC이고, ∠B와 ∠C의 크기를 구하는 문제에 필요한 조건이 주어져 있다.
학생이 그림을 보며 “양쪽이 비슷하게 생겼으니 각도 같아요”라고 답하면 결론은 맞을 수도 있지만, 풀이의 근거가 빠져 있다. 먼저 AB와 AC에 같은 길이 표시를 하고, 그다음 ‘같은 변에 마주 보는 각이 같다’는 관계를 연결해야 한다. 그림의 모양이 아니라 주어진 기호가 풀이의 출발점이 되어야 한다.
평행선이 포함된 문제에서는 더 분명하다. 직선 l과 m이 평행하고 한 직선이 두 직선을 가로지른다면, 학생은 l∥m을 그림 옆에 적고, 문제에서 알려 준 각에 같은 표시를 한다. 그 뒤 엇각인지 동위각인지 위치를 확인한다. 선이 비스듬히 그려졌다는 이유만으로 각을 같다고 판단해서는 안 된다.
한 중1 학생의 풀이를 바꾸는 과정
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 도형의 길이·각·평행 조건이 모두 문제에 적혀 있었지만 그림에는 아무 표시도 없었다. 학생은 풀이 중간에 한 변의 길이를 사용하지 않았고, 평행 조건도 끝까지 활용하지 못했다. 채점 후에는 “도형이 어려워서 틀렸다”고 적었다.
이때 오답 원인을 넓게 묶지 않고 세 칸으로 나눈다.
- 문제에서 주어진 길이와 각을 그림에 옮겼는가
- 평행, 수직, 같은 길이 같은 관계를 기호로 표시했는가
- 표시한 조건 중 어떤 것을 사용해 다음 식이나 각을 구했는가
다시 풀 때는 답을 바로 지우지 않는다. 먼저 그림의 같은 길이에 같은 눈금을 표시하고, 같은 각에는 같은 호를 그린다. 평행한 직선에는 화살표 표시를 한다. 사용한 조건 옆에는 작은 체크를 하고, 아직 사용하지 않은 조건은 동그라미로 남긴다. 이렇게 하면 풀이가 끝났을 때 조건이 남는 이유를 확인할 수 있다.
도형 문제를 읽는 순서를 고정하지 않고 기록한다
도형의 종류에 따라 표시할 내용은 달라진다. 삼각형의 합동을 다루는 문제라면 대응하는 변과 각을 각각 표시한 뒤 대응 순서를 맞춘다. 평행선 문제라면 평행 표시와 각의 위치를 함께 적는다. 길이를 구하는 문제라면 알고 있는 수를 해당 선분 옆에 직접 쓴다. 문제의 문장을 한 번 읽고 기억하는 방식보다, 조건을 그림에 옮겨 놓는 방식이 오류를 줄인다.
학생이 “이 조건은 나중에 쓰겠지”라고 표시를 생략하면, 교사는 정답 풀이를 대신 말하지 않고 “지금 그림에 남아 있는 정보가 무엇인지”를 질문한다. 학생은 문제 문장에서 ‘AB＝AC’, ‘l∥m’, ‘∠A＝60°’를 다시 찾아 그림에 표시한다. 이후 어떤 성질을 적용할지 스스로 선택하고, 적용한 이유를 한 줄로 적는다.
주어진 조건 → 그림 기호 표시 → 사용할 성질 선택 → 식 또는 각의 관계 작성 → 사용한 조건 체크
이 순서를 사용하면 도형을 보고 떠오르는 공식을 찾는 대신, 실제 조건에서 필요한 성질을 고르는 연습이 된다. 중2 선행을 고민하는 시기에도 먼저 중1 현행 도형 문제에서 이 과정을 도움 없이 수행하는지 확인해야 한다. 현행 문제에서 조건 표시가 되지 않은 상태로 선행 도형을 추가하면 새로운 기호와 성질만 늘어날 수 있다.
같은 문제가 아닌 변형 문제로 확인하기
한 문제를 표시한 뒤 바로 같은 문제를 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음에는 그림의 위치를 바꾼다. 처음에는 위쪽에 있던 평행선을 아래쪽에 배치하거나, 삼각형을 회전해 제시한다. 숫자를 바꾸는 것보다 중요한 것은 그림의 모양이 달라져도 조건을 먼저 찾는지 확인하는 것이다.
예를 들어 처음 문제에서 AB＝AC로 표시했다면, 변형 문제에서는 두 선분의 이름을 바꾸고 ∠B＝∠C를 주어진 조건으로 제시할 수 있다. 학생은 표시된 각을 보고 대응하는 변의 관계를 연결해야 한다. 평행선 문제는 각의 위치를 바꾸거나 사용하지 않아도 되는 길이 정보를 하나 추가해, 모든 숫자를 식에 넣으려는 행동이 사라졌는지 본다.
검증할 때의 기준은 정답만이 아니다. 학생이 그림을 받은 뒤 조건에 표시했는지, 표시한 기호와 문제 문장이 일치하는지, 사용한 성질의 근거를 말할 수 있는지, 남은 조건을 확인했는지를 기록한다. 다음 날 같은 유형을 다시 풀고 일주일 뒤 회전된 그림과 표현이 바뀐 문제를 제시했을 때도 같은 절차를 유지한다면, 중1 현행 학습에서 중2 선행으로 넘어갈 준비를 구체적으로 판단할 수 있다.
자주 묻는 질문
도형에 모든 조건을 표시해야 하나요?
풀이에 필요한 조건은 표시하는 것이 좋다. 다만 사용하지 않아도 되는 정보까지 억지로 식에 넣지는 말고, 표시 후 필요한 조건과 불필요한 조건을 구분한다.
그림이 정확한 모양처럼 보이면 눈으로 판단해도 되나요?
안 된다. 도형의 크기와 위치는 문제의 조건을 설명하기 위한 그림일 뿐이므로, 길이·각·평행·수직 관계는 반드시 주어진 기호와 성질로 확인해야 한다.