방이동중2수학과외, 내심과 외심을 위치 그림이 아닌 근거로 설명하는 연습
방이동에서 중2 수학을 공부할 때 내심과 외심 단원은 답을 맞혔는지보다 그림을 가린 뒤에도 풀이 이유를 다시 말할 수 있는지가 중요하다. 문제를 풀 때는 삼각형 안쪽에 점을 표시해 두고 맞힌 것처럼 보이지만, 다음 날 같은 그림의 방향이나 점의 이름이 바뀌면 첫 줄부터 멈추는 경우가 있다. 이때 중3 선행 문제를 몇 장 풀었는지보다 현재 중2 도형 문제를 혼자 재현했는지를 먼저 확인해야 한다.
방이동의 학습 동선과 중2 현행 점검
방이동에는 방산중학교, 방이중학교, 보성중학교, 서울체육중학교, 오륜중학교가 있다. 학교 주소 기준 지역 안의 학교와 송파구 전체에 있는 참고 학교는 구분해서 살펴볼 필요가 있으며, 학교별 시험 난도나 출제 경향을 임의로 단정하지 않는다. 방이동대림아파트와 방이코오롱아파트처럼 생활권 안에서 학교와 집, 방과후 일정 사이를 이동하는 학생은 귀가 뒤 긴 시간을 확보하기보다 짧은 자습 시간을 고정하는 방식이 현실적이다.
예를 들어 통학과 방과후 활동 후 40분만 남는다면 그 시간에 중3 선행 여러 문제를 푸는 대신, 중2 시험범위에서 아직 혼자 시작하지 못하는 내심·외심 문제 두세 개를 골라 풀이를 재현한다. 현재 단원의 완료 여부가 불분명한 상태에서 선행 진도량만 늘리면 공부한 페이지 수가 준비 상태처럼 보이기 쉽다.
정답보다 먼저 확인할 학생의 행동
이 단원에서 학생은 삼각형 안에 있는 점을 보고 “내심 같다”, 삼각형 바깥쪽에 그려진 점을 보고 “외심 같다”고 말한다. 하지만 왜 그런지 묻으면 각의 이등분선인지, 변의 수직이등분선인지 설명하지 못한다. 풀이를 볼 때는 고개를 끄덕이지만 다음 날 답을 가린 상태에서 첫 번째 보조선을 어디에 그어야 하는지 다시 묻는다.
시험 직전에는 미완료 문제를 표시하면서도 중3 선행 문제를 푼 개수를 먼저 센다. 한 번에 20문제를 푼 날을 개념이 안정된 날로 기록하지만, 다음 날 전날 문제의 그림을 뒤집거나 꼭짓점 이름을 바꾸면 같은 풀이를 시작하지 못한다. 이는 단순 계산 실수라기보다 정의를 위치 그림으로만 기억하고, 도형의 근거를 문장으로 연결하지 못한 상황이다.
그림을 가리고 풀이 이유를 되살리는 방법
먼저 학생이 막힌 지점을 “점의 위치는 기억나지만 어떤 선의 교점인지 모르겠다”처럼 한 문장으로 적게 한다. 그 뒤 답과 해설을 덮고 다음 순서로 말한다.
- 내심은 삼각형 세 내각의 이등분선의 교점이며, 세 변까지의 거리가 같다.
- 외심은 삼각형 세 변의 수직이등분선의 교점이며, 세 꼭짓점까지의 거리가 같다.
- 그림에서 보이는 점의 위치만 사용하지 않고 어떤 선이 만나는지를 표시한다.
- 직각삼각형에서는 외심이 빗변의 중점에 놓일 수 있다는 조건을 따로 확인한다.
예를 들어 삼각형 ABC에서 점 O가 내심이라고 주어졌다면, 단순히 O를 삼각형 안쪽에 찍는 데서 끝내지 않는다. ∠BAO와 ∠OAC가 같고, ∠ABO와 ∠OBC가 같다는 표시를 직접 한다. 외심이라면 AO, BO, CO가 같은 길이라는 결론만 쓰지 말고, O가 AB와 BC의 수직이등분선 위에 있다는 근거를 연결한다. 주어진 조건에 없는 길이나 각을 임의로 같다고 만들지 않는 것도 함께 확인한다.
“이 점이 안쪽에 있어서 내심이다”가 아니라 “세 내각의 이등분선이 만나는 점이므로 내심이다”라고 말할 수 있어야 한다.
실제 풀이에서 바꾸는 행동
처음에는 그림 옆에 내심이면 각의 이등분선, 외심이면 수직이등분선이라는 짧은 기준표를 적는다. 이후 같은 유형을 풀 때는 기준표를 가리고, 학생이 직접 세 선의 종류를 표시하게 한다. 각의 이등분선에는 같은 각 표시를, 수직이등분선에는 직각 표시와 같은 길이 표시를 남긴다.
오답이 나오면 정답만 고치지 않고 원인을 나눈다. 각의 이등분선과 수직이등분선을 바꾸었다면 개념 오류, 점의 위치만 보고 결론을 냈다면 도형 근거 오류, 꼭짓점 이름을 바꾸면서 대응을 놓쳤다면 대응 오류로 기록한다. 풀이 문장에는 “왜냐하면” 뒤에 사용할 정의를 한 줄 쓰고, 그 문장이 그림의 표시와 맞는지 대조한다.
새 그림과 시간 제한으로 독립 검증
같은 문제를 다시 맞히는 것으로 완료하지 않는다. 먼저 삼각형의 꼭짓점 순서를 ABC에서 PQR로 바꾸고, 내심을 삼각형 안쪽이 아닌 다른 위치에 표시한 그림을 제시한다. 학생은 점의 위치를 보고 판단하지 않고 세 내각의 이등분선을 찾아야 한다. 다음에는 외심 문제에서 두 변의 수직이등분선만 그려진 그림을 주고 세 번째 선도 같은 점을 지나는지 설명하게 한다.
마지막으로 5분 동안 내심 한 문제와 외심 한 문제를 풀게 한다. 한 문제는 그림의 방향을 바꾸고, 다른 문제는 “점 O가 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다”처럼 정의의 결과를 먼저 제시한다. 학생이 내심과 외심의 대응을 바꾸지 않고, 선의 종류와 근거 문장을 모두 적으면 중2 현행에서 독립 적용이 확인된 것으로 본다. 그 전에는 중3 선행 분량을 늘리지 않고, 시험범위 미완료 목록에서 보류 문제를 먼저 정리한다.
과외에서 정하는 완료 기준
과외에서는 문제 수보다 재현 단계를 기록한다. 첫 번째는 답을 가린 뒤 정의를 말하는 단계, 두 번째는 그림에 필요한 표시를 하는 단계, 세 번째는 근거를 포함한 문장을 쓰는 단계다. 세 단계 중 하나라도 도움을 받아야 했다면 성공으로 표시하지 않고 보류로 남긴다. 다음 수업에서는 같은 그림이 아니라 이름, 방향, 조건을 바꾼 문제로 다시 확인한다.
방이동 학생의 자습 시간이 짧을수록 매일 많은 문제를 푸는 것보다 이동 후 정한 30~40분 안에 보류 문제 한 개를 독립적으로 끝내는 방식이 효율적이다. 중2 도형의 정의와 근거가 새 조건에서도 재현된 뒤에야 중3 선행을 추가해야 선행 진도가 현행 학습을 가리는 일을 줄일 수 있다.
자주 묻는 질문
내심과 외심을 위치로 구분하면 안 되나요?
위치는 참고할 수 있지만 기준은 아니다. 내심은 세 내각의 이등분선, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이라는 정의를 사용해야 한다.
중3 선행은 언제 늘리면 되나요?
중2 시험범위의 보류 문제를 도움 없이 풀고, 이름과 그림 조건을 바꾼 문제에서도 근거를 재현한 뒤 늘린다.
틀린 문제를 바로 다시 풀면 충분한가요?
아니다. 그림 방향, 점의 이름, 조건을 바꾼 새 문제에서 같은 정의와 근거를 적용해야 독립적으로 이해했다고 볼 수 있다.