소사구중3수학과외, 접선 길이를 맞힌 뒤에도 조건을 확인하는 풀이
학생은 원과 접선이 함께 나온 문제에서 다음과 같이 적었다.
“반지름과 접선은 모두 길이를 구하는 선분이므로 6+8=14이다.”
답은 우연히 보기와 일치했지만, 풀이에는 접선의 성질이 사용되지 않았다. 접선 길이를 구하는 문항에서 필요한 것은 숫자를 더하는 일이 아니라 접점, 중심, 외부의 한 점이 어떤 관계를 이루는지 확인하는 과정이다. 소사구중3수학과외에서는 맞힌 답도 식과 조건을 다시 살펴보며, 다른 그림에서 같은 성질을 꺼내 쓸 수 있는지 확인한다.
반지름과 접선이 만나는 각도부터 표시하기
원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선이 원과 T에서 만나고, 원의 중심이 O라고 하자. 접선 PT와 반지름 OT는 접점 T에서 서로 수직이다. 따라서 삼각형 OPT는 T에서 직각인 직각삼각형이 된다.
예를 들어 OP=10, 원의 반지름 OT=6이라면 접선의 길이 PT는 피타고라스 정리에 따라 다음과 같이 구한다.
PT²+OT²=OP²
PT²+6²=10²
PT²=64
PT=8
학생이 처음에는 10-6=4라고 쓰거나, 10+6=16이라고 쓰기도 한다. 두 수가 모두 문제에 제시되어 있어 산술 연산을 먼저 선택하기 때문이다. 이때 바로 공식을 외우게 하기보다 그림에서 OP, OT, PT를 각각 표시하게 한다. OP는 중심에서 외부 점까지의 거리이고, OT는 중심에서 접점까지의 반지름이며, PT가 구하려는 접선이다. 세 선분이 직각삼각형의 세 변이라는 사실이 식의 근거가 된다.
길이 두 개가 보인다고 곧바로 빼지 않는 이유
접선 길이와 반지름의 차를 구하는 문제가 아니라면, OP와 OT는 직각삼각형의 빗변과 한 변으로 사용된다. 그러므로 접선 길이는 일반적으로 OP-OT가 아니다. 위 조건에서 10-6=4를 답으로 쓰면, 실제로 4²+6²=52이므로 OP²=100을 만족하지 못한다. 계산 뒤에 원래 관계를 대입하는 간단한 검산만 해도 오답을 걸러낼 수 있다.
수업에서는 학생에게 답만 말하게 하지 않고 “왜 PT²을 구했는가?”, “어느 각이 직각인가?”, “가장 긴 변은 무엇인가?”를 차례로 묻는다. 학생이 “접선과 접점으로 연결한 반지름이 수직이어서 직각삼각형이 되고, OP가 빗변이므로 피타고라스 정리를 쓴다”고 설명하면 식과 성질이 연결된 상태로 본다. 반대로 숫자만 대입해 정답을 얻었다면 아직 그림이 바뀌었을 때 흔들릴 가능성이 있다.
같은 외부 점에서 그은 두 접선은 어떻게 확인할까
이번에는 점 P에서 원에 그은 두 접선이 각각 A, B에서 접하고 PA=3x-1, PB=x+5로 주어졌다고 하자. 한 외부 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로
3x-1=x+5
2x=6
x=3
따라서 PA=8, PB=8이다. 여기서 학생이 x=3만 적고 끝내면 조건 확인이 빠진 것이다. 실제 길이를 다시 계산하여 PA=3×3-1=8, PB=3+5=8인지 확인해야 한다. 또한 x=3을 원래 식에 대입했을 때 양쪽 길이가 모두 양수인지도 살펴본다.
이 장면은 앞의 직각삼각형 문제와 계산 방식은 다르지만, 접선이라는 같은 주제 안에서 성질을 먼저 선택해야 한다는 점은 같다. 두 접선의 길이를 연결해야 하는 그림인지, 중심과 접점을 연결해 직각삼각형을 만들어야 하는 그림인지 구분하는 것이 첫 행동이다. 학생이 모든 접선 문제에 피타고라스 정리를 적용한다면, 접선 두 개가 한 외부 점에서 출발하는지 먼저 표시하게 한다.
소사구의 생활 리듬을 반영한 문제 확인
소사구 안에서도 송내동, 계수동, 괴안동, 범박동, 소사본동, 심곡본동처럼 생활권이 나뉘고, 송내역이나 주거지와 학교 사이의 이동 시간도 학생마다 다를 수 있다. 부천동여자중학교, 부천동중학교, 부천여자중학교, 부천일신중학교, 성주중학교, 소사중학교는 대표 학교 자료로 참고하되, 이를 모든 세부 생활권 학생의 동일한 통학 조건으로 단정하지 않는다. 이동이 긴 학생은 수업에서 새 개념을 많이 늘리기보다, 학교 프린트 한 문항의 조건 표시와 검산까지 마치는 짧은 학습 단위를 정해 실천하는 편이 적절하다.
예를 들어 수업 시작 전 학생은 접점에 T를 표시하고 중심 O와 외부 점 P를 연결한다. 이후 주어진 길이에 동그라미를 치고, 구하는 선분에 물결표를 표시한다. 풀이 마지막에는 “OT⊥PT인가”, “OP가 빗변인가”, “계산 결과를 제곱해 원래 식을 만족하는가”를 직접 체크한다. 맞힌 문제라도 이 세 항목 중 하나가 비어 있으면 풀이를 완료하지 않은 것으로 처리한다.
그림을 돌리고 숫자를 바꾼 독립 검증
다음 시간에는 이전 문제와 달리 중심 O에서 외부 점 P까지의 거리를 13, 반지름을 5로 바꾸고, 접점은 그림의 오른쪽이 아니라 아래쪽에 배치한다. 학생이 그림의 방향에 의존하지 않는다면 먼저 반지름과 접선이 만나는 접점에서 직각을 표시한다.
OP=13, OT=5이므로
PT²+5²=13²
PT²=169-25=144
PT=12
그 다음 PT²+OT²=12²+5²=144+25=169=OP²로 검산한다. 숫자만 바뀐 것이 아니라 도형이 회전했는데도 학생이 접점의 위치를 찾아 직각을 만들고, 빗변을 확인한 뒤 검산했다면 이전 답을 기억한 것이 아니라 접선의 성질을 독립적으로 적용한 것이다. 접선 두 개가 제시된 변형에서는 길이를 같다고 놓은 뒤 두 선분을 다시 계산하게 하여, 식·성질·조건이 모두 맞는지 확인한다.
자주 묻는 질문
접선 길이는 항상 반지름과 더하거나 빼서 구하나요?
아니다. 중심, 외부 점, 접점을 이은 직각삼각형이 주어지면 피타고라스 정리를 사용한다. 두 접선이 한 외부 점에서 그어진 경우에는 두 접선의 길이가 같다는 성질을 먼저 사용한다.
정답을 맞혔으면 검산하지 않아도 되나요?
접점에서 반지름과 접선이 수직인지, 선택한 식이 그림의 조건에 맞는지, 구한 길이를 다시 대입했을 때 관계가 성립하는지 확인해야 한다. 정답만 맞은 것과 성질을 적용한 것은 다르다.