옥길동중3수학과외, 접선의 직각삼각형에서 반지름을 먼저 연결하는 연습
학생이 원의 바깥점 P에서 그은 접선의 길이를 구하는 문제에 \(OP=13\), \(OT=5\)가 주어졌을 때 처음 적은 식은 \(PT^2=13^2+5^2\)였다. 접점 T를 지나가는 반지름 OT와 접선 PT가 직각이라는 사실은 알고 있었지만, 구하려는 PT가 직각삼각형의 어느 변인지 그림에서 확인하지 않고 숫자만 대입한 것이다.
이 문제에서 중요한 것은 접선의 길이를 외우는 일이 아니다. 접점에 반지름을 연결하고, 그 결과 생긴 직각삼각형에서 빗변과 두 직각변을 구분하는 과정이다. 중심 O와 접점 T를 이으면 \(OT\perp PT\)이므로 삼각형 OPT는 T에서 직각이다. 따라서 OP가 빗변이고, PT는 구하려는 직각변이다.
접점에 연결한 반지름이 왜 직각을 만드는가
학생은 ‘접선은 원과 한 점에서 만나는 선’이라고 설명했지만, 그 정의만으로 바로 계산을 시작했다. 여기서 한 줄을 더 붙여야 한다. 원의 중심에서 접점으로 그은 반지름은 접선과 수직이다. 그림에 직각 표시가 없더라도 접점 T를 확인했다면 OT와 PT를 연결하고 \(\angle OTP=90^\circ\)라고 적을 수 있어야 한다.
이 표시가 빠지면 학생은 OP와 OT를 나란히 비교하거나, 접선 PT를 빗변으로 잘못 읽는다. 먼저 점의 역할을 구분한다. O는 중심, T는 접점, P는 접선이 시작되는 원 밖의 점이다. 그다음 \(OT\perp PT\)를 적고, 직각의 맞은편에 있는 OP가 빗변임을 확인한다.
더한 뒤 제곱근을 취하는 것이 아니라 빗변에서 빼기
앞의 수치를 올바르게 배열하면 피타고라스 정리에 따라
\(OP^2=OT^2+PT^2\)
\(13^2=5^2+PT^2\)
\(PT^2=169-25=144\)
\(PT=12\)가 된다. 길이를 구하는 문제이므로 음의 값은 선택하지 않는다. 학생이 처음 쓴 \(13^2+5^2\)는 두 직각변의 제곱을 더해 새로운 빗변을 찾는 형태다. 하지만 여기서는 이미 빗변 OP의 길이가 주어졌고 PT가 직각변이므로, 빗변의 제곱에서 다른 직각변의 제곱을 빼야 한다.
수정 행동은 풀이를 길게 베껴 쓰는 것이 아니다. 학생은 숫자를 넣기 전에 세 칸을 만든다. ‘빗변 OP=13’, ‘직각변 OT=5’, ‘구할 변 PT’라고 적은 뒤, \(PT^2=OP^2-OT^2\)를 먼저 세운다. 마지막에는 \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\)로 역검산한다. 답 12만 적는 것과, 12가 직각삼각형의 관계를 만족한다고 확인하는 것은 다르다.
그림이 회전하거나 접선이 다른 방향에 놓였을 때
다음 프린트에서는 원이 왼쪽에 있고 접선이 비스듬히 위로 향해 있어 직각 표시가 그림의 오른쪽에 배치되었다. 학생은 이전 문제의 모양을 떠올리며 ‘가로로 놓인 선이 접선’이라고 판단하려 했다. 그러나 접선은 수평인지 수직인지로 정하는 것이 아니다. 원과 한 점에서 만나고, 그 접점에서 반지름과 수직을 이루는 선이면 된다.
이번에는 중심 O에서 접점 T까지의 반지름이 8, 바깥점 P와 중심 O 사이의 거리가 17로 주어졌다고 하자. 그림이 회전했어도 \(OT\perp PT\), OP가 빗변이라는 관계는 변하지 않는다.
\(PT^2=17^2-8^2=289-64=225\)
따라서 \(PT=15\)이다. 학생은 계산 전에 그림의 방향이 아니라 세 점의 관계를 말로 확인한다. “T가 접점이고 OT와 PT가 만나는 각이 직각이므로 OP가 빗변이다.” 이 문장을 말한 뒤 식을 쓰게 하면, 숫자와 배치가 바뀌어도 첫 행동이 흔들리는지 관찰할 수 있다.
접선의 길이가 아니라 중심과 접점의 위치를 물을 때
표현이 달라진 문제에서는 구하는 대상도 바뀐다. “접선 PT의 길이”라고 직접 묻지 않고, \(OP=10\), \(PT=6\)일 때 반지름 OT를 구하라고 제시할 수 있다. 이때도 새로운 공식을 찾는 것이 아니라 같은 직각삼각형의 관계를 방향만 바꾸면 된다.
\(OT^2=OP^2-PT^2=10^2-6^2=100-36=64\)이므로 \(OT=8\)이다. 학생이 \(10^2+6^2\)를 계산하려 한다면, 구하려는 OT가 빗변인지 직각변인지 다시 표시하게 한다. 길이는 양수이므로 \(OT=-8\)을 답으로 쓰지 않으며, \(8^2+6^2=64+36=100=10^2\)인지 확인한다.
옥길동에는 옥길새길중학교와 옥길중학교가 지역명 주소 기준으로 확인된다. 같은 소사구의 부천동여자중학교, 부천동중학교, 부천여자중학교는 옥길동 소재 학교가 아니라 통학권을 살필 때 참고할 수 있는 학교다. 따라서 학교별 내신 운영을 하나의 지역 성향으로 묶기보다, 학교 프린트의 그림 배치와 학생의 주간 일정에 맞춰 접점 표시, 식 세우기, 검산을 나누어 점검하는 방식이 적절하다. 옥길LH1단지 등 생활권에서 이동 시간이 달라질 수 있는 만큼 한 번의 긴 풀이보다 주중에는 한 문항의 첫 표시를 확인하고, 다른 날에는 변형문제의 독립 풀이를 확인하는 식으로 진행할 수 있다.
도움 없이 꺼내는지 확인하는 변형 문제
마지막에는 앞의 숫자를 그대로 바꾸어 주는 대신 조건의 표현과 그림을 함께 바꾼다. 원 밖의 점 P에서 접선이 두 개 그어지고 한 접선의 길이가 9, 중심 O와 P 사이의 거리가 15라고 하자. 다른 접선의 길이를 묻는다면 먼저 두 접선이 같다는 성질을 바로 쓰기보다, 한 접선과 반지름이 만드는 직각삼각형을 찾아 \(15^2-9^2=225-81=144\), 길이 12를 얻는다. 두 접선의 길이가 같으므로 다른 접선도 12이다.
이때 학생이 도움 없이 접점을 표시하고, 반지름과 접선의 직각을 말한 다음, 빗변에서 제곱을 빼는 식을 세우는지가 확인 기준이다. 그림이 뒤집히고 구하는 대상이 달라도 그 세 행동이 이어진다면 답을 기억한 것이 아니라 접선이 만드는 직각삼각형의 원리를 다시 적용한 것이다.