심곡본동중3수학과외, 접선이 만든 직각삼각형을 근거로 풀기
“접선이니까 반지름과 길이가 같다”라고 적은 뒤, 원의 중심에서 접점까지의 선분과 접선의 선분을 같은 값으로 처리하는 학생이 있다. 접선 문제에서 계산이 틀어지는 시작점은 대개 공식 자체가 아니라 그림의 역할을 구분하지 않는 데 있다. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 그 접점에 그은 반지름은 접선에 수직이다. 따라서 접선과 반지름이 만나는 지점에서는 직각삼각형을 먼저 찾아야 한다.
접점 표시가 직각삼각형의 출발점이 된다
원 중심을 O, 접점을 P, 원 밖의 점을 T라고 하자. TP가 원의 접선이라면 OP는 반지름이고, OP ⟂ TP이다. 그러므로 △OPT는 P에서 직각인 삼각형이다. 만약 OT=13, OP=5라면 피타고라스 정리에 따라
TP²=OT²-OP²=13²-5²=169-25=144
이므로 TP=12이다. OT가 빗변이라는 판단이 먼저이며, 접선의 길이를 구할 때는 빗변의 제곱에서 다른 직각변의 제곱을 뺀다. 학생이 “13²+5²”라고 썼다면 계산 실수라기보다 어느 선분이 직각삼각형의 빗변인지 확인하지 않은 행동으로 보아야 한다.
접점 P에서 직각 표시를 찾고, 가장 긴 변 OT를 빗변으로 정한 뒤, 구하는 선분을 피타고라스 식에 남긴다.
맞힌 답에도 풀이 근거와 검산을 붙인다
12라는 답을 맞혔더라도 “접선의 길이는 반지름보다 크다”처럼 설명하면 충분하지 않다. 이 문제에서 TP는 반지름 OP와 다른 변이고, OT가 빗변이므로 TP²+OP²=OT²를 만족해야 한다. 실제로 12²+5²=144+25=169=13²이므로 계산 결과가 삼각형의 구조와 일치한다.
수업에서는 학생에게 답만 지우고 다시 쓰게 하지 않는다. 먼저 그림에서 O, P, T를 표시하게 하고, P에 직각 표시를 직접 그리게 한다. 다음으로 세 선분을 ‘빗변 OT, 한 직각변 OP, 다른 직각변 TP’로 말하게 한다. 그 뒤 숫자를 대입한다. 마지막에는 구한 길이를 원래 식에 되돌려 넣어 검산한다. 이 과정을 거치면 공식 암기보다 선분의 위치를 근거로 식을 선택하는 행동이 남는다.
부천동중·부천여중 자료를 지역 학교로 바꾸어 말하지 않기
심곡본동 주소 기준으로 확인된 중학교는 없으므로, 부천동여자중학교·부천동중학교·부천여자중학교·부천일신중학교·성주중학교는 같은 소사구의 참고 학교로 구분해 다룬다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있어 특정 학교의 시험 경향이나 지역 전체의 학군 성향을 단정하지 않는다. 실제 수업에서는 학생이 다니는 학교의 프린트, 수행평가 일정, 주간 학습 가능 시간을 기준으로 접선 단원의 풀이 기록과 검산 시간을 배치한다. 제공된 자료상 심곡본동에는 고등학교 2개가 확인되고 소사구 전체에는 7개가 확인되지만, 이 정보만으로 중학교별 수학 난도를 추정하지 않는다.
숫자가 바뀐 새 접선 문제에서 첫 행동 확인하기
다음 문제에서는 OT=17, OP=8일 때 TP를 구하게 한다. 학생이 이전 답 12를 기억해 적는 것이 아니라, 다시 접점 P를 찾아 직각을 표시하고 OT를 빗변으로 선택해야 한다.
TP²=17²-8²=289-64=225
따라서 TP=15이다. 검산은 15²+8²=225+64=289=17²로 한다. 숫자만 바뀐 문제에서 학생이 덧셈 대신 뺄셈을 선택하고, 왜 OT가 빗변인지 설명한다면 풀이 근거가 새 조건에서도 유지된 것으로 볼 수 있다.
접선이 두 개일 때도 같은 구조로 확인하기
한 점 T에서 원에 그은 두 접선이 각각 접점 P, Q에서 만난다면 TP=TQ이다. 다만 이 성질을 바로 외워 적용하기보다, 두 삼각형에서 OP와 OQ가 모두 반지름이고 각각 접선과 직각을 이룬다는 사실을 확인하게 한다. 예를 들어 OP=OQ, OT는 공통인 빗변이므로 두 직각삼각형이 합동이고, 그 결과 TP=TQ가 나온다.
새 그림에서 접선의 위치를 위아래로 바꾸거나 접점을 반대편에 배치했을 때에도 학생이 ‘그림의 방향’이 아니라 ‘접점에서 반지름과 접선이 수직’이라는 근거를 먼저 꺼내는지 살핀다. 답을 빠르게 구하는 것보다 직각 표시, 빗변 선택, 피타고라스 식, 역검산이 끊기지 않는지가 이 단원의 학습 기준이다.