범박동중3수학과외, 변형 문제에서 원 밖의 점과 중심을 연결하는 법
학생이 다음 문제를 풀며 한참 동안 자를 움직였다.
원 O의 반지름이 5cm이고, 원 밖의 점 P에서 그은 접선의 길이가 12cm일 때 OP의 길이를 구하여라.
학생은 접선의 길이 12와 반지름 5를 더해 17cm라고 적었다. 숫자 계산만 보면 자연스러워 보이지만, 이 문제에서 먼저 확인해야 할 것은 더하기가 아니라 접점과 중심을 잇는 선분이다. 접선과 반지름은 접점에서 직각을 이루므로, 중심 O와 접점 T, 원 밖의 점 P가 만드는 삼각형 OPT는 직각삼각형이 된다.
접선 길이를 바로 더하지 않고 직각삼각형으로 바꾸기
학생의 첫 풀이에는 필요한 선분을 그림에서 읽어 내는 과정이 빠져 있었다. 접점 T에서는 OT가 반지름이고 PT가 접선이다. 따라서
OT=5, PT=12, ∠OTP=90°
가 성립한다. 구하는 OP는 직각삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리를 적용한다.
OP²=OT²+PT²
OP²=5²+12²=25+144=169
OP는 거리이므로 양의 값인 13cm를 선택한다. 17cm는 두 변의 길이를 단순히 더한 값이며, 직각삼각형의 빗변이 될 수 없다. 학생에게는 “접선과 반지름을 찾았는가?”보다 한 단계 더 구체적인 질문을 던졌다. “두 선분이 만나는 점에서 직각 표시를 할 수 있는가?”였다. 학생은 문제 그림에 중심 O, 접점 T, 원 밖의 점 P를 직접 표시한 뒤 직각 기호를 그렸다.
맞힌 답도 중심과 접점의 관계를 설명해야 한다
다음에는 반대로 OP=13cm, 원의 반지름 OT=5cm일 때 접선 PT를 구하게 했다. 학생은 이번에는 곧바로 12cm라고 답했다. 결과는 맞았지만, 처음에는 13-5=8이라고 적었다가 다시 지웠다. 이 장면은 공식을 기억하는지보다 어떤 길이가 직각삼각형의 어느 변인지 판단하는지가 중요하다는 점을 보여 준다.
OP는 빗변, OT는 한 직각변, PT는 다른 직각변이므로
PT²=OP²-OT²=13²-5²=169-25=144
PT=12cm이다. 제곱한 길이를 구한 뒤에는 반드시 양의 제곱근을 선택한다. 길이를 음수로 쓰지 않는 이유도 함께 말하게 하자 학생은 “점 P에서 접점 T까지의 거리는 거리이므로 12cm”라고 설명했다.
원 밖의 점이 바뀌면 같은 선분을 찾는가
범박중학교와 부천일신중학교에서 중학교 수학을 마무리하는 학생이라면, 한 그림을 그대로 외우는 방식보다 문제의 배치가 달라졌을 때 같은 성질을 꺼내는 연습이 필요하다. 범박동의 범박휴먼시아1단지와 일루미2단지처럼 생활권 안에서도 통학 동선과 학습 시간이 달라질 수 있듯, 학교 프린트와 시험에서는 원의 위치나 점의 이름이 바뀌어 제시될 수 있다. 같은 소사구의 부천동여자중학교, 부천동중학교, 부천여자중학교는 참고 학교로 구분해 볼 수 있지만, 특정 학교의 출제 경향을 단정하지 않고 현재 학생이 만나는 문항의 조건을 기준으로 확인한다.
변형 문제에서는 원의 오른쪽에 있던 P가 위쪽으로 이동하거나, 접점이 T 대신 A로 표시될 수 있다. 이때 학생이 해야 할 첫 행동은 숫자를 찾는 것이 아니다.
- 원의 중심을 표시한다.
- 원 밖의 점에서 원에 닿는 접점을 찾는다.
- 중심과 접점을 연결한다.
- 접선과 반지름이 만나는 곳에 직각을 표시한다.
- 구하는 선분이 빗변인지 직각변인지 결정한다.
예를 들어 중심 O에서 접점 A까지의 반지름이 9cm이고, OA와 수직인 접선 위에서 외부 점 Q까지의 길이가 40cm라면 OQ를 구하는 식은
OQ²=9²+40²=81+1600=1681
이므로 OQ=41cm이다. 앞선 5-12-13 삼각형의 답을 기억해서 푸는 것이 아니라, 반지름과 접선이 직각변을 이루고 OQ가 빗변이라는 판단을 새로 해야 한다. 학생은 처음에는 9+40을 적으려 했지만, 두 선분 사이의 직각 표시를 확인한 뒤 제곱합으로 풀이를 바꾸었다.
두 접선이 그려질 때 같은 성질을 분리해서 보기
원 밖의 한 점 P에서 원에 두 접선을 그어 접점을 A, B라 하자. PA와 PB의 길이는 서로 같다. 다만 이 성질을 사용하려면 A와 B가 실제 접점인지 확인해야 한다. 원 안의 두 점을 연결한 현의 길이와 접선의 길이를 혼동하면 안 된다.
학생에게 PA=10cm라고 주고 PB를 묻자 처음에는 그림의 오른쪽 선분이 더 길어 보인다며 10cm라고 답했다. 답은 맞았지만 근거가 “그렇게 보인다”에 머물렀다. 그래서 P에서 A, P에서 B로 이어지는 두 선분이 각각 접선이고, OA와 OB가 각 접점에서 해당 선분과 직각이라는 조건을 다시 표시했다. 두 직각삼각형에서 공통으로 사용하는 OP와 같은 반지름 OA=OB를 확인하면 PA=PB를 설명할 수 있다.
이때 그림을 회전시킨 새 문항을 제시했다. 중심 O를 아래쪽에 두고, 원 밖의 점 P에서 왼쪽과 오른쪽으로 접선을 그은 형태였다. 학생은 접점 두 곳을 먼저 찾고 반지름을 연결한 뒤, 두 접선의 길이를 같다고 적었다. 도형의 방향은 달라졌지만 필요한 첫 행동은 유지된 것이다.
통학과 과제 일정 속에서도 풀이를 짧게 기록하는 방법
중학교에서 고등학교로 넘어가면 이동 시간, 과제량, 시험 준비가 함께 늘어날 수 있다. 범박동에서 학교와 학원 또는 귀가 동선을 오가는 학생에게 긴 풀이를 매번 다시 쓰게 하기보다, 이 단원에서는 그림 옆에 세 가지를 남기는 방식이 효율적이다.
- OT⊥PT
- OP가 빗변인지 확인
- 구한 길이를 원래 식에 대입해 검산
앞의 5, 12, 13 문제라면 5²+12²=13²을 다시 확인한다. 반대로 접선을 구하는 문제라면 12²+5²=13²인지 대입한다. 단순히 정답 숫자만 확인하지 않고, 사용한 선분이 실제 그림의 선분인지 점검해야 한다.
새 조건에서 도움 없이 꺼내는지 확인하기
마지막에는 숫자와 구하는 대상을 바꿨다. 반지름이 7cm이고 원 밖의 점 P에서 접점 T까지의 접선 길이가 24cm일 때 OP를 묻게 했다. 학생은 그림을 보자마자 7과 24를 더하지 않고, “OT와 PT가 직각변이고 OP가 빗변”이라고 먼저 말했다.
OP²=7²+24²=49+576=625
따라서 OP=25cm이다. 이어서 접선 길이를 24cm가 아니라 25cm로 바꾸고 반지름 7cm를 유지한 문항에서는 OP²=49+625=674가 되어 OP는 √674cm이다. 학생은 이전의 25라는 답을 반복하지 않고, 새 조건에 맞춰 근삿값을 요구하지 않은 문제에서는 √674cm로 남겨야 한다고 판단했다. 이 확인을 통과해야 원 밖의 점과 중심, 접점의 관계를 숫자에 맞춰 독립적으로 적용했다고 볼 수 있다.