종암동중3수학과외, |a|와 그래프 폭을 새 조건에서도 읽는 연습
학생은 함수 y=|2x-3|의 그래프를 그리라는 문제에서 먼저 “절댓값이 있으니 V자 모양”이라고 적었다. 꼭짓점이 어디인지 묻자 x좌표를 0으로 두고, 그래프의 폭을 비교하는 질문에는 “앞에 2가 있으니 더 넓어진다”고 답했다. 모양을 기억하고 있었지만 식의 위치와 계수에 따라 그래프가 어떻게 달라지는지는 연결하지 못한 장면이었다.
종암동에서 중3 수학을 지도할 때도 학생의 주간 일정과 학교별 내신 운영을 함께 살펴야 한다. 지역 내 중학교로 확인되는 서울대학교사범대학부설중학교와 종암중학교가 있고, 같은 성북구의 개운중학교·고려대학교사범대학부속중학교·고명중학교는 참고 학교로 구분된다. 이 학교들을 하나의 학군 성향으로 묶기보다, 학생이 실제로 풀고 있는 프린트와 시험 범위, 수업 가능한 요일에 맞춰 절댓값 함수의 변형 문제를 조정하는 방식이 적절하다.
꼭짓점은 x=0이 아니라 절댓값 안의 식이 0이 되는 곳
y=|2x-3|에서 학생이 처음 해야 할 일은 그래프의 모양을 떠올리는 것이 아니라 절댓값 안쪽을 0으로 놓는 것이다.
2x-3=0이므로 x=3/2이고, 이때 y값은 0이다. 따라서 꼭짓점은 (3/2, 0)이다. 학생이 x=0을 대입해 얻은 y=3은 y절편일 뿐 꼭짓점이 아니다. 이 둘을 구별하지 않으면 그래프를 V자로 그려도 전체 위치가 옮겨진다.
수업에서는 식 위에 먼저 2x-3=0을 따로 적고, 그 결과를 좌표로 옮기게 했다. 이후 x=1, 2를 대입해 각각 y=1, 1을 확인하고, 꼭짓점 양쪽에서 같은 높이의 점이 나타나는지 확인했다. 단순히 그래프를 외우게 하지 않고 ‘절댓값 안쪽이 0이 되는 x가 꼭짓점의 x좌표’라는 행동으로 바꾼 것이다.
앞의 계수는 그래프의 폭을 바꾸지만 방향을 반대로 말하지 않기
y=a|x-p|+q에서 a가 양수이면 꼭짓점에서 위로 열리고, |a|가 클수록 그래프는 더 좁아진다. 반대로 0<|a|<1이면 같은 가로 변화에 대한 y의 변화가 작아져 더 넓어진다.
학생은 y=2|x-1|+3과 y=1/2|x-1|+3을 보고 앞의 수가 큰 두 번째 그래프가 더 넓다고 판단했다. 이때 ‘x가 꼭짓점에서 1만큼 이동할 때 y가 얼마나 변하는가’를 표로 만들었다.
y=2|x-1|+3: x가 1만큼 이동하면 y는 2만큼 증가y=1/2|x-1|+3: x가 1만큼 이동하면 y는 1/2만큼 증가
같은 높이만큼 올라가려면 첫 번째 그래프는 가로 이동이 작고, 두 번째 그래프는 더 멀리 이동해야 한다. 그래서 |a|가 큰 그래프가 좁고, 작은 그래프가 넓다. 학생에게 ‘폭’을 감각적인 말로만 남기지 않고, 같은 y값을 만드는 두 x의 거리를 비교하게 한 이유다.
절댓값 안의 이동과 바깥 이동을 분리해서 읽기
y=|x-2|+1에서 학생은 그래프를 오른쪽으로 2, 위로 1 옮겨야 한다는 설명을 들은 뒤에도 x+2라고 적었다. 괄호 안 부호는 이동 방향과 반대로 나타난다는 점을 놓친 것이다. 이를 바로잡기 위해 기본 그래프 y=|x|의 꼭짓점 (0,0)을 기준으로 비교했다.
|x-2|는 절댓값 안의 식이 0이 되는 x가 2이므로 오른쪽 2만큼 이동한다. 여기에 바깥의 +1이 붙으면 y좌표가 1 올라가 꼭짓점은 (2,1)이 된다. 학생은 식을 한 번에 외우는 대신 ‘안쪽은 x좌표, 바깥은 y좌표’라고 말한 뒤 꼭짓점을 계산했다.
절댓값 안쪽을 0으로 만들어 꼭짓점의 x좌표를 찾고, 바깥의 수로 y좌표를 정한다. 그다음 |a|로 폭을 판단한다.
그래프를 보고 식을 거꾸로 만드는 장면
새 문제에서는 식이 주어지지 않고 꼭짓점이 (-2, 4)인 V자 그래프가 제시되었다. 꼭짓점에서 오른쪽으로 2 이동할 때 y가 6만큼 내려가 있었으므로 기울기의 절댓값은 3이고, 아래로 열린 그래프이므로 계수는 음수이다. 학생은 그래프를 보고 y=-3|x+2|+4를 만들었다.
이 식을 다시 그래프의 조건에 대입해 보았다. x=-2이면 y=4이고, x=0이면 y=-3×2+4=-2이다. 실제 그림에서 x=0의 높이가 -2인지 확인하면서 식과 그래프를 양방향으로 연결했다. 단순히 꼭짓점만 맞춘 것이 아니라 폭과 방향까지 검증한 셈이다.
숫자와 표현이 바뀐 독립 확인
마지막에는 y=-1/2|3x+6|+2를 제시하고 풀이 순서를 미리 알려 주지 않았다. 학생은 먼저 3x+6=0에서 x=-2를 찾고, 꼭짓점 (-2,2)를 적었다. 계수가 음수이므로 아래로 열리며, 절댓값 안의 계수 3은 식을 꼭짓점 형태로 바꾸면
y=-1/2|3(x+2)|+2=-3/2|x+2|+2
가 되어 폭이 좁아진다는 점도 설명했다. 이어 x=0을 대입해 y=-1/2×6+2=-1을 얻고, 그래프에서 꼭짓점보다 아래에 있어야 한다고 확인했다. 이전처럼 ‘앞의 수가 크면 넓다’고 말하지 않고, 계수의 부호와 절댓값, 절댓값 안의 계수를 차례로 분리해 판단한 것이다.
중3 절댓값 함수 학습에서 진도량보다 중요한 기준은 새로운 식을 보았을 때 학생이 먼저 무엇을 확인하는가이다. 절댓값 안을 0으로 만들고, 꼭짓점의 위치를 정한 뒤, 계수의 부호와 |a|를 이용해 방향과 폭을 설명할 수 있다면 표현이 달라진 그래프에서도 독립적으로 출발할 수 있다.