상한만 보고 결론 내리지 않는 수열의 극한 풀이
석관동에서 석관고등학교 수업을 마친 뒤 이동 시간을 줄여 자습을 시작한 고3 학생은, 비교를 이용한 수열의 극한 문제에서 계산보다 조건의 방향을 먼저 확인하는 연습을 진행했다. 특히 기존의 수렴형 문제를 발산 여부를 묻는 형태로 바꾸었을 때에도 같은 풀이 순서를 반복하지 않도록 훈련했다.
불필요한 조건 때문에 놓친 비교의 방향
다음 조건을 만족하는 수열 {an}의 극한을 구하는 문제를 풀었다.
모든 자연수 n에 대하여 −7 ≤ an ≤ 1/n이고, an의 부호는 일정하지 않다. limn→∞ an을 구하여라.
학생은 불필요한 조건인 −7 ≤ an을 먼저 사용한 뒤 다음과 같이 적었다.
오답: −7 ≤ an ≤ 1/n이고 1/n → 0이므로 an → 0이다.
이 식은 틀린 풀이다. −7과 1/n 사이에 있다는 사실만으로는 an이 0으로 가까워진다고 할 수 없다. 예를 들어 an=−7이면 주어진 범위는 만족하지만 극한은 0이 아니다. 비교를 이용하려면 양쪽 경계가 같은 값으로 수렴해야 한다.
양쪽 비교수열을 다시 세우는 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, an의 부호가 일정하지 않다는 조건을 확인하고 좌우 칸을 다음처럼 고쳤다.
- 틀린 식: −7 ≤ an ≤ 1/n
- 맞는 식: −1/n ≤ an ≤ 1/n
문제의 핵심 조건이 실제로 |an| ≤ 1/n이라는 점을 확인하면
−1/n ≤ an ≤ 1/n
이고,
limn→∞(−1/n)=0, limn→∞(1/n)=0
이다. 따라서 샌드위치 정리에 의해
limn→∞ an=0
이다. 학생은 n=10을 대입하여 −0.1≤a10≤0.1인지 확인하고, n=100에서는 −0.01≤a100≤0.01로 폭이 줄어드는지도 점검했다. 그래프에서는 두 경계함수 y=−1/x, y=1/x 사이의 폭이 0에 가까워지는 모습을 확인했다.
상한이 바뀐 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음과 같이 비교수열을 바꾸어 검증했다.
|bn| ≤ 1/√n일 때 limn→∞ bn을 구하여라.
이번에는 이전 답을 그대로 쓰지 않고 조건을 새로 정리했다.
−1/√n ≤ bn ≤ 1/√n
또한
limn→∞(−1/√n)=0, limn→∞(1/√n)=0
이므로 다시 샌드위치 정리를 적용하여
limn→∞ bn=0
을 얻는다. 상한의 모양이 1/n에서 1/√n으로 바뀌어도 두 비교수열이 모두 0으로 수렴하는지 먼저 확인해야 한다. 반대로 |cn|≤√n처럼 상한 자체가 발산하면, 상한만으로는 cn의 발산을 결론 낼 수 없다. 이처럼 학생은 답보다 변수의 범위, 비교 방향, 경계값의 극한을 먼저 적는 방식으로 석관동 고3수학과외 학습에서 풀이 기준을 다시 세웠다.