길음동중1수학과외, 컴퍼스를 대기 전에 작도 순서를 말로 설명하는 연습
“선분의 수직이등분선을 작도하시오.”라는 문제를 보자마자 컴퍼스를 펼치고 선분의 양 끝을 번갈아 찍는 학생이 있다. 겉으로는 익숙한 작도처럼 보이지만, 선분의 어느 점을 중심으로 삼았는지, 같은 반지름을 유지했는지, 두 호의 교점을 어떻게 연결해야 하는지는 설명하지 못한다. 그림이 좌우로 바뀌거나 선분의 길이가 달라지면 작도 순서가 흔들리는 이유도 여기에 있다.
길음동에서 중1 수학을 공부할 때는 길음중학교의 학교 프린트와 시험 범위를 확인하면서 작도 문제를 따로 다룰 필요가 있다. 길음뉴타운10단지나 길음뉴타운 래미안9단지처럼 귀가 시간과 주말 일정이 달라질 수 있는 생활권에서는 평일에 작도 절차를 짧게 말로 정리하고, 주말에는 완성한 작도를 조건이 바뀐 문제에 적용하는 식으로 계획을 나눌 수 있다. 같은 성북구의 개운중학교, 고려대학교사범대학부속중학교, 고명중학교, 남대문중학교 자료를 길음동 소재 학교처럼 단정하지 않고 참고 범위로 구분해야 한다.
컴퍼스보다 먼저 확인할 것은 ‘무엇을 만들라는가’이다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 문제에 선분 AB와 점 P가 제시되었을 때 그림에 보이는 숫자부터 계산하려 한다. 그러나 작도는 숫자를 계산해 답을 구하는 문제가 아니라, 주어진 도구로 조건을 만족하는 점과 선을 정해 가는 과정이다. 먼저 문제의 요구를 다음처럼 나눈다.
- 주어진 것은 선분인지, 각인지, 직선인지 확인한다.
- 최종적으로 만들 대상이 수직이등분선인지, 각의 이등분선인지, 평행선인지 말한다.
- 컴퍼스의 중심이 될 점과 호가 지나야 할 위치를 정한다.
- 같은 길이를 유지해야 하는 구간을 표시한다.
- 마지막에 어떤 점들을 직선으로 연결할지 확인한다.
예를 들어 선분 AB의 수직이등분선을 작도한다면 “A를 중심으로 호를 그리고, 같은 반지름으로 B를 중심으로 호를 그린 뒤, 두 호의 교점을 연결한다”라고 먼저 말할 수 있어야 한다. 여기서 A와 B를 중심으로 한 호의 반지름은 같아야 하며, 두 호가 실제로 만나도록 선분 AB의 절반보다 큰 길이를 선택해야 한다. 두 교점을 잇는 직선이 선분 AB를 수직으로 이등분한다는 근거까지 연결해야 서술형 답안이 된다.
실제 오답은 계산 실수보다 조건을 그림에 옮기지 않은 데서 생긴다
문제에서 “선분 AB의 수직이등분선을 작도하고, 그 이유를 쓰시오”라고 했는데 학생이 A에서 호 하나만 그린 뒤 호의 교점을 임의로 정하고 선을 긋는 경우가 있다. 또 A에서 그린 호와 B에서 그린 호의 크기가 달라져 두 호가 만나지 않거나, 교점 하나만 사용해 선분 AB의 한쪽에만 선을 긋기도 한다. 이때 학생은 “수직으로 보인다”고 말하지만, 그림이 정확히 수직인지 눈으로 판단할 수는 없다.
각의 이등분선에서도 비슷한 장면이 나타난다. 각의 꼭짓점 O에서 호를 그린 다음 호와 두 변의 교점을 표시하지 않고, 두 변에서 임의의 길이를 잡아 호를 그린다. 그러면 두 변에서 같은 거리를 사용했는지 확인할 수 없고, 최종적으로 그은 선이 각을 똑같이 나누는지 설명하기 어렵다. 작도 과정에서 필요한 점을 이름 붙이지 않으면 서술형에서 “같은 반지름으로 두 호를 그린다”는 핵심 근거도 빠진다.
작도 전 30초 말하기와 표시 규칙
계산식을 보고 부호와 절댓값을 나누어 쓰듯이, 작도 문제도 ‘주어진 것’과 ‘만들 것’을 분리해 표시한다. 문제 옆에 작은 체크칸을 만들고 다음 순서로 적는다.
- □ 주어진 도형과 점의 이름을 읽는다.
- □ 최종 목표를 한 문장으로 말한다.
- □ 컴퍼스 중심을 순서대로 말한다.
- □ 같은 반지름을 유지할 부분에 같은 표시를 한다.
- □ 호의 교점을 P, Q처럼 이름 붙인다.
- □ 마지막에 연결할 점과 성질의 근거를 쓴다.
수직이등분선이라면 “AB의 양 끝 A, B를 각각 중심으로 같은 반지름의 호를 그린다. 호의 교점을 P, Q라 하고 P와 Q를 잇는다. PA=PB, QA=QB이므로 P와 Q는 AB의 수직이등분선 위에 있다”와 같이 정리한다. 모든 증명을 길게 쓸 필요는 없지만, 같은 반지름과 교점 연결이라는 핵심은 빠지지 않아야 한다.
각의 이등분선은 “꼭짓점 O에서 호를 그려 두 변과 만나는 점을 C, D로 표시한다. C와 D를 중심으로 같은 반지름의 호를 그려 교점 E를 만든다. O와 E를 연결한다”라고 예측한다. 컴퍼스의 중심이 O에서 C, D로 바뀌는 지점을 말할 수 있는지가 중요하다. 학생이 순서를 외운 문장처럼 따라 하지 않고, 왜 그 점을 중심으로 삼는지 설명하도록 질문을 바꿔야 한다.
학교 프린트의 미완료 작도를 변형해 검증하기
주말에 미완료 문제가 몰린다면 새 교재의 비슷한 예제를 계속 추가하기보다 학교 프린트에서 한 작도 문제를 골라 절차를 복원한다. 먼저 그림을 가리고 문제 문장만 읽게 한다. 학생은 컴퍼스를 사용하기 전에 목표와 첫 중심을 말한다. 그다음 실제 작도를 하고, 완성 후에는 선분이나 각의 조건을 그림에 표시한다.
검증은 같은 그림을 다시 그리는 것으로 끝내지 않는다. 다음 문제에서는 선분 AB를 BA로 제시하거나, 수직이등분선의 교점을 그림의 위쪽이 아니라 아래쪽에 배치한다. 각의 이등분선은 각을 회전해 놓고, 교과서와 다른 크기의 각을 사용한다. 학생이 익숙한 그림의 위치를 기억하지 않고도 컴퍼스 중심, 같은 반지름, 호의 교점, 연결 순서를 스스로 정하는지 확인한다.
또 한 문제에는 불필요한 길이 표시를 넣어 숫자부터 계산하려는 행동을 점검할 수 있다. 학생이 숫자를 모두 사용하려 하지 않고 “이 문제는 길이를 계산하는 것이 아니라 같은 거리를 만드는 작도”라고 구분하면 첫 단계가 달라진 것이다. 서술형에서는 식 대신 작도 근거가 필요하므로, 답안을 ‘작도 과정·사용한 조건·완성된 도형의 성질’ 세 칸으로 나누어 확인한다.
다음 날과 일주일 뒤의 독립 적용
다음 날에는 전날과 다른 순서로 질문한다. “컴퍼스를 어디에 대나요?”라고 묻기보다 “문제에서 요구한 최종 도형은 무엇이며, 첫 번째로 확인할 조건은 무엇인가?”라고 묻는다. 학생이 도움 없이 “선분의 양 끝을 중심으로 같은 반지름의 호를 그린다”고 말하고 바로 작업을 시작하는지 본다.
일주일 뒤에는 선분의 길이와 그림 방향을 바꾸고, 작도 뒤에 이유를 쓰는 조건을 추가한다. 시간 제한도 지나치게 짧게 두지 않고, 먼저 말하기와 표시를 포함해 실제 시험처럼 진행한다. 완성된 그림만 보지 않고 다음 항목을 기록한다.
- 문제의 요구사항을 끝까지 읽었는가
- 첫 컴퍼스 중심을 스스로 정했는가
- 두 호의 반지름을 같게 유지했는가
- 교점을 표시하고 필요한 점을 연결했는가
- 작도 결과의 이유를 문장으로 설명했는가
이 기록에서 ‘순서를 잊음’, ‘조건을 그림에 표시하지 않음’, ‘호의 반지름이 달라짐’, ‘근거를 생략함’을 구분하면 다음 연습량을 조절할 수 있다. 길음동중1수학과외에서 작도를 다룰 때도 컴퍼스를 능숙하게 움직이는 것만 목표로 삼지 않고, 문제를 읽은 뒤 첫 행동을 스스로 정하고 변형된 그림에서도 같은 조건을 재구성하는지까지 확인해야 한다.