용답동중2수학과외, 내심·외심 위치 그림을 확률식으로 바꾸는 연습
내심과 외심을 배운 뒤 학교 프린트의 변형문제에서 자주 멈추는 학생이 있다. 그림 속 점의 위치를 보고 “이것은 내심”, “저것은 외심”이라고 외우는 데는 익숙하지만, 여러 그림 중 조건에 맞는 경우를 세거나 그중 특정 조건을 만족하는 사건의 확률을 구하라는 순간 풀이가 끊긴다. 이때 필요한 것은 그래프 문제를 더 많이 푸는 일이 아니라, 정의와 위치 조건을 목록으로 바꾸는 습관이다.
용답동 학습 계획에서 먼저 확인할 것
용답동 주소의 중학교는 제공된 자료에서 확인되지 않는다. 따라서 경수중학교, 경일중학교, 광희중학교, 동마중학교, 마장중학교는 용답동 소재 학교가 아니라 같은 성동구의 통학권 참고 학교로 구분해야 한다. 학교별 시험 범위나 출제 경향을 단정하기보다는, 실제 재학 학교의 프린트와 수행평가 일정을 기준으로 학습 시간을 정하는 편이 안전하다. 평일 귀가 시간이 늦은 날에는 새로운 문제 수를 늘리기보다 그림 조건을 목록화하는 한 문항 훈련을 배치한다.
위치 그림을 외운 학생의 실제 막힘
예를 들어 여러 삼각형 그림이 제시되고 각 그림의 점 P가 내심인지 외심인지 판단한 뒤, “내심과 외심의 위치 조건을 각각 만족하는 그림을 고를 때 특정 조건에 맞는 확률”을 묻는 문항을 생각해 보자. 학생은 그림을 보자마자 점이 삼각형 안쪽에 있으면 내심, 바깥쪽이면 외심이라고 적는다. 그러나 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 위치만으로 정의를 대신할 수 없다.
또 전체 그림 수를 세면서 조건이 겹치는 그림을 두 번 포함하거나, 사건에 해당하는 그림만 세고 전체 경우를 쓰지 않는다. “전체 경우가 6개이고 그중 조건을 만족하는 경우가 2개”처럼 확인하지 않은 채 확률을 2라고 쓰거나 1/2을 2/6으로 남겨 두기도 한다. 확률은 동일한 가능성을 가진 전체 경우를 기준으로 사건 경우를 나누어야 하므로, 그림의 개수와 조건의 개수를 분리해야 한다.
내심·외심의 이름을 먼저 쓰지 말고, 각 그림 옆에 ‘각의 이등분선’, ‘수직이등분선’, ‘전체 목록 번호’를 따로 기록한다.
정의를 위치 조건으로 번역하기
첫 단계에서는 그림마다 번호를 붙인다. ①, ②, ③처럼 전체 그림을 빠짐없이 적고, 각 그림에서 점이 어느 선의 교점으로 표시되는지 확인한다. 세 내각의 이등분선이 만나는 점이면 내심 후보, 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이면 외심 후보로 표시한다. 단순히 점이 안쪽인지 바깥쪽인지만으로 결정하지 않는다.
두 번째 단계에서는 문제의 조건을 문장으로 쪼갠다. 예를 들어 “내심인 그림 중 점이 삼각형 내부에 있는 경우”라면 먼저 내심 후보를 고른 뒤, 그 목록에서 내부 위치인 그림만 남긴다. “외심이면서 직각삼각형인 경우”라면 외심 후보와 직각 조건을 동시에 확인한다. 조건을 한 번에 머릿속에서 처리하지 않고, 후보 목록과 사건 목록을 따로 만드는 것이 핵심이다.
세 번째 단계에서만 확률식을 쓴다. 전체 경우의 수를 n, 조건을 만족하는 사건의 경우의 수를 m이라고 확인했다면 확률은 m/n이다. 예를 들어 동일한 가능성으로 선택되는 그림이 8개이고, 그중 내심의 정의와 추가 조건을 모두 만족하는 그림이 3개라면 확률은 3/8이다. 단, 그림 선택 방식이 동일한 가능성을 보장하지 않는다면 개수만으로 확률을 정할 수 없으므로 문제의 선택 조건을 먼저 읽어야 한다.
짧은 시간에 하는 수정 훈련
- 그림마다 번호를 붙이고, 내심·외심 판단 근거를 각각 ‘각의 이등분선’ 또는 ‘수직이등분선’으로 한 단어씩 적는다.
- 전체 목록과 사건 목록을 다른 줄에 작성해 같은 그림이 두 번 들어갔는지 확인한다.
- 내부·외부 위치, 직각 여부, 특정 변의 조건처럼 추가된 조건에 형광 표시를 하고 조건을 하나씩 적용한다.
- 확률을 쓰기 전에 분모가 전체 경우인지, 분자가 사건 경우인지 말로 확인한다.
- 분수 결과가 0 이상 1 이하인지 살펴보고, 사건 수가 전체 수보다 커지는지 검산한다.
학습량도 조정해야 한다. 평일 귀가가 늦은 날에는 비슷한 그림을 열 문제 풀게 하기보다 학교 프린트의 첫 변형문제 한 문항을 골라 목록과 확률식까지 완성하게 한다. 피곤한 날 같은 난도와 분량을 고집하면 그림을 대충 보고 위치만 외우는 행동이 다시 나타난다. 복습 종료 기준은 정답 횟수가 아니라 새 조건을 읽고 첫 줄에 전체 경우와 사건 조건을 스스로 분리하는지로 둔다.
새 그림에서 독립적으로 확인하기
같은 문제를 다시 맞히는 것으로는 충분하지 않다. 다음에는 삼각형의 모양을 바꾸고, 내심과 외심의 순서를 바꾸며, 전체 그림 수와 사건 수를 달리한 문항을 제시한다. 예를 들어 전체 10개 중 외심이면서 주어진 조건을 만족하는 그림이 4개라면 4/10을 세운 뒤 2/5로 약분한다. 이번에는 내부 위치 조건을 추가하고, 다른 문항에서는 조건을 두 개가 아닌 하나만 제시해 목록이 달라지는지 확인한다.
시간 제한도 둔다. 5분 안에 그림 번호, 정의 근거, 전체 경우, 사건 경우, 확률식을 모두 적게 한 뒤 누락된 항목을 찾는다. 마지막에는 학생이 “내심은 세 내각의 이등분선의 교점, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이며, 확률은 확인한 사건 수를 전체 경우 수로 나눈다”고 설명하게 한다. 그림 모양이 바뀌어도 이 기준을 말할 수 있다면 단순 위치 암기에서 벗어난 것이다.
과외에서의 점검 방식
과외에서는 먼저 학교 프린트의 오답 한 문항을 펼쳐 학생이 그림에 표시한 흔적을 확인한다. 답만 고치지 않고 어느 그림을 전체에서 빠뜨렸는지, 어떤 그림을 중복했는지, 내심·외심의 근거를 적었는지 분류한다. 이후 새 자료를 무작정 추가하지 않고 같은 프린트의 조건을 바꾼 한 문항으로 독립 적용을 확인한다. 학교 시험 범위와 수행평가 일정이 확인되면 그 일정에 맞춰 정의 확인, 목록 작성, 확률식 작성의 순서를 나누어 배치한다.
자주 묻는 질문
점이 삼각형 안에 있으면 내심인가요?
아니다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점인지 확인해야 한다.
외심은 항상 삼각형 안에 있나요?
아니다. 삼각형의 종류에 따라 위치가 달라질 수 있으므로 수직이등분선의 교점이라는 정의를 우선 확인한다.
확률 문제에서 그림만 세면 되나요?
선택되는 전체 경우가 동일한 가능성을 가지는지 확인한 뒤, 전체 경우와 사건 경우를 분리해 식을 세워야 한다.