성수동중3수학과외, 문장 속 조건을 이차식으로 바꾸는 연습
“가로가 세로보다 3cm 길고, 넓이가 70㎠인 직사각형의 가로와 세로를 구하여라.”라는 문제에서 학생은 곧바로 x(x+3)=70을 적지 못하고, “x+3=70”이라고 썼다. 넓이를 구하는 상황인데도 두 길이를 더하는 식으로 바꾼 것이다. 계산 실수라기보다 문장에서 무엇을 미지수로 정하고, 어떤 관계를 곱셈으로 표현해야 하는지 연결하지 못한 장면이었다.
‘길이의 관계’와 ‘넓이의 관계’를 한 식에 넣기
이 문제에서는 먼저 세로를 xcm로 정한다. 가로가 세로보다 3cm 길므로 가로는 x+3cm이다. 직사각형의 넓이는 가로×세로이므로
x(x+3)=70
이 된다. 전개하면 x²+3x-70=0이고, 이를 인수분해하면 (x+10)(x-7)=0이다. 따라서 x=-10 또는 x=7이지만 길이는 음수가 될 수 없으므로 세로는 7cm, 가로는 10cm이다.
학생은 처음에 인수분해 결과만 보고 10과 7을 답으로 적으려 했다. 이때는 정답 숫자를 얻었더라도 문장제 풀이가 끝난 것이 아니다. x가 세로를 뜻한다고 정했으므로 7이 세로이고 10이 가로라는 대응까지 확인해야 한다. 마지막에는 7×10=70, 가로가 세로보다 3cm 긴지 10-7=3을 대입해 검산한다.
미지수를 정한 뒤 문장의 표현을 식으로 번역하기
다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. “어떤 자연수와 그 수보다 5 큰 수의 곱이 84일 때 두 수를 구하여라.” 학생은 “두 수의 합이 84”라고 읽고 x+(x+5)=84를 세웠다. ‘곱’이라는 단어를 놓친 것이다.
이때 풀이 첫 줄을 계산으로 시작하지 않고 문장에 표시한다. 어떤 수를 x라 하면 다른 수는 x+5이고, 곱이 84이므로
x(x+5)=84
이다. 정리하면 x²+5x-84=0, 즉 (x+12)(x-7)=0이다. 자연수 조건에 맞는 해는 x=7이며 두 수는 7과 12이다. 학생이 해야 할 수정 행동은 ‘곱’에 동그라미 치고, 두 수를 곱셈 기호로 연결한 다음, 구한 값을 원래 문장에 다시 넣는 것이다.
문장제에서 식을 세울 때는 먼저 “무엇을 x로 둘까?”를 정하고, 다음에 “다른 양은 x와 어떻게 연결되는가?”, 마지막으로 “문제에서 말한 합·차·곱·넓이 중 무엇인가?”를 확인한다.
부호가 바뀐 문제에서 같은 원리를 유지하기
숫자와 표현이 달라지면 학생의 풀이가 다시 흔들렸다. “가로가 세로보다 4m 짧고, 직사각형의 넓이가 45㎡이다.”라는 문제에서 세로를 xm로 두고 가로를 x+4m라고 적었다. ‘짧다’는 관계를 반대로 바꾼 것이다.
세로가 가로보다 4m 길다는 뜻으로 미지수를 정하면 가로를 xm, 세로를 x+4m로 둘 수 있다. 따라서
x(x+4)=45
이고, x²+4x-45=0, (x+9)(x-5)=0이므로 길이는 5m와 9m이다. 이 문제에서 중요한 것은 특정 식을 외우는 것이 아니라, 미지수를 어느 길이로 정했는지에 따라 ‘짧은 길이’와 ‘긴 길이’를 다시 배치하는 것이다. 학생은 식을 쓰기 전 그림에 긴 변과 짧은 변을 표시하고, 식을 세운 뒤 두 길이의 차가 4인지 확인했다.
성수동의 경수중학교, 경일중학교, 성수중학교, 성원중학교처럼 지역 내 중학교에서 학교별 프린트와 시험 일정이 달라질 수 있어도, 문장 속 관계를 식으로 바꾸는 과정은 동일하다. 성동구 내 참고 학교인 광희중학교는 성수동 소재 학교가 아니므로 지역 학교와 구분해 보아야 한다. 성수두산위브아파트 등 생활권에서 이동 시간이 길어지는 날에는 풀이량을 무리하게 늘리기보다, 한 문항의 미지수 설정과 검산을 말로 설명하게 하는 편이 효율적이다.
그림이 없어도 조건을 표로 먼저 정리하기
문장에 그림이나 숫자 순서가 섞이면 학생은 앞에 나온 수를 그대로 x로 두려 했다. 예를 들어 “연속한 두 자연수의 곱보다 2 큰 수가 72이다.”라는 문장에서 x(x+1)=72만 적고, ‘보다 2 큰’ 조건을 빠뜨렸다.
두 자연수를 x, x+1로 두면 그 곱은 x(x+1)이고, 그보다 2 큰 수가 72이므로
x(x+1)+2=72
이다. 정리하면 x²+x-70=0, (x+10)(x-7)=0이므로 자연수 조건에 맞는 두 수는 7과 8이다. 수정할 때는 문장을 ‘두 수’, ‘두 수의 곱’, ‘그보다 2 큰 수’로 나누어 세 칸에 적는다. 그 뒤 식을 세우고, 마지막에 7×8+2=58이 아니라 문제의 값과 맞는지 다시 확인해야 한다. 이 계산은 조건과 맞지 않으므로, 실제로는 식의 해를 재검토해야 한다. x²+x-70=0의 해는 7과 -10이므로 7과 8을 곱한 값은 56이고, 여기에 2를 더하면 58이다. 따라서 주어진 72와 모순되어 이 문제에는 자연수 해가 없다. 학생은 ‘인수분해가 되었다’는 이유만으로 답을 확정하지 않고 원문 전체를 검산해야 한다.
새 숫자와 새 표현에서 혼자 식을 세우는지 확인하기
다음 확인 문제는 “한 수와 그 수보다 6 큰 수의 곱이 91일 때, 두 수를 구하여라.”로 바꾸었다. 학생에게 앞의 풀이 형식을 보여주지 않고, 먼저 미지수를 정하게 했다. x와 x+6을 잡아 x(x+6)=91, 즉 x²+6x-91=0을 세웠다. 인수분해하면 (x+13)(x-7)=0이므로 자연수 해는 7, 다른 수는 13이다.
이번에는 숫자 70이나 84를 기억해서 답한 것이 아니라, ‘차가 6인 두 수의 곱’이라는 새 조건을 식으로 바꾸고 음의 해를 제외한 뒤 7×13=91로 확인했다. 중3에서 고등학교로 넘어가면 이동과 과제, 시험 준비가 한꺼번에 늘어날 수 있다. 그래서 현재의 문장제 학습도 풀이 개수보다 새로운 표현을 만났을 때 첫 줄을 스스로 세우는지를 기준으로 점검해야 한다.