마장동중3수학과외, 문장 속 조건을 이차식으로 바꾸는 연습
“가로가 세로보다 3cm 길고, 넓이가 70㎠인 직사각형의 가로와 세로를 구하여라.” 학생은 문제를 읽자마자 가로를 x+3, 세로를 x로 두었다. 여기까지는 자연스러웠지만, 다음 줄에 x(x+3)=70을 쓰지 않고 x+x+3=70이라고 적었다. 길이 조건과 넓이 조건을 모두 읽었지만, 어떤 관계가 덧셈이고 어떤 관계가 곱셈인지 구분하지 못한 것이다.
중3 이차방정식 문장제에서 필요한 것은 긴 풀이를 외우는 일이 아니다. 문장에 등장한 양을 문자로 정하고, 문제에서 실제로 비교하거나 계산하는 관계를 식으로 옮기는 순서가 중요하다. 마장동에서 동마중학교와 마장중학교 학생의 학교 프린트나 내신 대비 문제를 함께 살필 때도 정답보다 학생이 식을 세우기 직전 어떤 조건을 놓쳤는지 확인하는 방식으로 진행할 수 있다.
‘3cm 길다’와 ‘70㎠이다’는 서로 다른 조건이다
먼저 짧은 길이를 x로 둔다. 그러면 긴 길이는 x+3이다. 여기서 “넓이가 70㎠”라는 문장은 두 변의 곱이 70이라는 뜻이므로 다음과 같이 식을 세운다.
x(x+3)=70
이를 정리하면 x²+3x-70=0이고, 인수분해하면 (x+10)(x-7)=0이다. 따라서 x=-10 또는 x=7이다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 x=7만 선택한다. 세로는 7cm, 가로는 10cm이며 실제 넓이도 7×10=70㎠이다.
학생이 처음 쓴 x+x+3=70은 “두 길이의 합이 70”인 상황에서만 가능한 식이다. 넓이를 묻는 문제에 합을 사용한 것이 계산 실수라기보다 문장 속 핵심 동사를 수학적 관계로 바꾸지 못한 장면에 가깝다. 그래서 오답을 지운 뒤 곧바로 정답 식을 베껴 쓰게 하지 않고, 문제에서 구하는 양과 주어진 관계에 각각 밑줄을 긋게 한다. ‘차이’는 뺄셈, ‘합’은 덧셈, ‘넓이’는 필요한 두 길이의 곱으로 바꾸어 말하게 한 뒤 식을 다시 작성한다.
문자를 정하는 위치가 식의 모양을 결정한다
같은 문제라도 무엇을 x로 둘지는 학생이 판단해야 한다. 가로를 x로 두면 세로는 x-3이 되고, 넓이 조건은 x(x-3)=70이 된다. 정리하면 x²-3x-70=0, 즉 (x-10)(x+7)=0이므로 길이 조건에 맞는 x는 10이다. 가로 10cm, 세로 7cm라는 같은 결과에 도달하지만, x가 어느 길이를 뜻하는지 끝까지 일관되어야 한다.
학생들은 가로를 x로 정한 첫 줄과 세로를 x로 정한 다음 줄을 섞어 쓰기도 한다. 예를 들어 “가로가 세로보다 3cm 길다”를 보고 가로=x+3, 세로=x라고 적은 뒤, 계산 중에는 x를 가로로 해석하여 답을 고르는 식이다. 이를 수정할 때는 풀이 첫 줄에 ‘x=짧은 변’처럼 문장으로 표시하고, 마지막에 그 문장을 다시 읽게 한다. 문자에 붙인 의미가 바뀌지 않았는지 확인하는 행동이 식을 세우는 과정에 포함되어야 한다.
합과 곱이 함께 주어질 때는 관계를 두 줄로 분리한다
“두 자연수의 합은 11이고 곱은 24이다”처럼 합과 곱이 함께 제시된 문장에서는 한 번에 식을 만들려 하지 않는다. 한 수를 x로 두면 다른 수는 11-x가 된다. 곱이 24이므로 x(11-x)=24이다. 이를 정리하면 x²-11x+24=0, (x-3)(x-8)=0이므로 두 수는 3과 8이다.
이때 x+(11-x)=24라고 쓰는 학생은 합 조건과 곱 조건의 위치를 바꾼 것이다. 수정 과정에서는 문제의 조건을 표로 길게 복사하지 않고, ‘합: x+(11-x)=11’, ‘곱: x(11-x)=24’처럼 관계를 분리하여 적는다. 그다음 실제 두 수 3과 8을 대입해 합과 곱을 각각 확인한다. 이 검산은 방정식의 해를 구한 뒤에도 문장 조건에 맞는지를 판단하게 해 준다.
음의 해를 버리는 근거까지 문장으로 남긴다
모든 이차방정식에서 음의 해를 자동으로 버리는 것은 아니다. 길이, 인원수, 자연수처럼 문제에서 양수 조건이 주어졌을 때만 제외해야 한다. 예를 들어 어떤 직사각형의 한 변을 x로 놓고 해가 x=7, -10으로 나왔다면 “길이이므로 x=-10은 제외”라고 써야 한다. 반면 시간의 변화량이나 수직선 위의 위치처럼 음수가 가능한 양이라면 조건을 다시 살펴야 한다.
마장동의 방과후 수업은 학교와 거주지 사이 이동 시간이 포함될 수 있으므로, 수업 뒤 바로 문제를 풀기보다 이동 후 확보한 자습시간에 한 문항의 조건 표시와 검산을 끝내는 방식이 현실적이다. 마장동금호아파트 등 생활권에서 이동하는 학생이라면 그날 학교에서 받은 문장제 한 문제를 고르고, 풀이 전체보다 ‘x가 무엇인지’, ‘곱으로 표현할 조건이 무엇인지’를 먼저 말하게 할 수 있다. 같은 성동구의 경수중학교·경일중학교·광희중학교는 마장동 소재 학교가 아니라 통학권 참고 범위로만 볼 수 있으며, 학교별 출제 특성을 단정하기보다 학생이 가져온 실제 자료의 표현을 기준으로 다루는 편이 안전하다.
숫자와 구하는 대상을 바꾼 뒤에도 첫 식을 스스로 세우는가
이해 여부는 앞의 직사각형 문제를 다시 맞히는 것으로 판단하지 않는다. 조건을 바꿔 “세로가 xcm이고 가로는 세로보다 5cm 길며 넓이가 84㎠일 때 두 변을 구하여라”라고 제시한다. 학생은 도움 없이 x(x+5)=84를 세워야 한다. 정리하면 x²+5x-84=0, (x+12)(x-7)=0이므로 길이 조건에 따라 x=7, 가로는 12cm이다. 마지막에는 7×12=84를 확인한다.
이번에는 숫자만 바꾸지 않고 구하는 대상을 바꾼다. “가로가 12cm일 때 세로보다 5cm 길고 넓이가 84㎠인지 설명하라”는 문항에서는 먼저 12-5=7로 세로를 구한 뒤 12×7=84를 확인해야 한다. 이전처럼 무조건 이차방정식을 세우는 것이 아니라, 미지수와 조건의 수를 보고 필요한 방법을 선택하는지가 관찰 지점이다. 학생이 ‘가로와 세로의 관계를 먼저 정하고, 넓이는 곱으로 확인한다’고 설명하면서 새로운 조건에서도 식을 세운다면 문장제의 답을 기억한 것이 아니라 조건을 수학적 관계로 바꾸는 절차를 익힌 것으로 볼 수 있다.