서초구중1수학과외, 교과서와 프린트의 그래프 표현이 달라도 읽는 기준 세우기
“가로축이 시간이고 세로축이 거리인 것은 알겠는데, 프린트에서는 왜 선의 모양이 다르죠?” 중1 학생이 그래프 문제를 풀 때 자주 하는 질문이다. 교과서와 학교 프린트가 같은 정비례·반비례 상황을 다루더라도 표의 순서, 눈금, 문장 표현, 그래프의 일부만 제시하는 방식이 달라질 수 있다. 이때 그림 모양을 외워서 비교하면 새로운 자료에서 바로 막힌다.
서초구에는 경원중학교, 내곡중학교, 동덕여자중학교, 반포중학교, 방배중학교, 서문여자중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 각 세부 생활권 학생의 통학권이나 학교별 출제 경향을 동일하게 볼 수는 없다. 반포동·방배동·서초동·양재동·잠원동처럼 이동 조건이 다른 지역에서 학교 자료와 개인 학습 자료를 함께 다룰 때에도 핵심은 특정 자료를 외우는 것이 아니라 그래프의 축과 관계를 다시 읽는 데 있다.
그래프를 보자마자 선부터 따라가는 행동
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 교과서에서는 ‘시간이 지날수록 이동한 거리를 나타낸 그래프’를 읽고 프린트에서는 ‘주어진 시간에 따른 거리’를 읽는다. 학생은 두 표현을 다른 유형으로 분류한 뒤 그래프의 높이만 비교한다. 가로축과 세로축의 단위를 확인하지 않고, 선이 위로 올라가면 무조건 값이 커진다고 판단하기도 한다.
예를 들어 가로축이 시간(분), 세로축이 거리(km)인 그래프에서 4분일 때의 거리를 묻는데, 학생이 점의 위치를 보지 않고 세로축 숫자 4를 찾아 답을 쓰는 경우가 있다. 반대로 가로축 눈금이 2분 간격인데도 한 칸을 1분으로 읽으면 실제 좌표를 잘못 찾는다. 표와 그래프가 함께 제시된 문제에서는 표의 행과 열을 바꾸어 그래프에 옮기기도 한다.
이 오답은 그래프 개념을 전혀 모른다는 뜻보다, 자료가 바뀌었을 때 무엇을 먼저 확인해야 하는지 정해져 있지 않다는 데서 드러난다. 시험 직전 익숙한 문제만 반복하면 교과서의 그래프에는 답할 수 있어도 학교 프린트의 다른 눈금이나 문장 표현을 만났을 때 다시 그림을 외우려 한다.
한 자료를 덮고 그래프를 말로 재현하기
수정할 때는 교과서와 프린트를 동시에 펼쳐 놓고 모양을 비교하지 않는다. 먼저 한 자료를 덮은 상태에서 다음 네 가지를 말하거나 적는다.
- 가로축과 세로축이 각각 무엇을 나타내는가
- 각 축의 단위와 한 칸의 크기는 얼마인가
- 문제에서 찾아야 하는 값은 어느 축의 입력값인가
- 주어진 값을 그래프에서 어느 점이나 선의 위치로 옮기는가
예를 들어 ‘6분 동안 이동한 거리’를 묻는다면 가로축에서 6분을 찾고, 그 위치에서 그래프와 만나는 점을 확인한 뒤 세로축으로 이동한다. ‘거리가 12km가 되는 시간’을 묻는다면 순서를 반대로 하여 세로축에서 12km를 찾고 가로축으로 돌아온다. 같은 선을 보더라도 질문의 방향이 달라지므로 축을 먼저 표시해야 한다.
정비례 표를 활용할 때도 숫자를 곧바로 계산하지 않는다. 시간과 거리의 대응값을 세로로 맞춰 적고, 시간이 2배가 될 때 거리가 2배가 되는지 확인한다. 반비례 표라면 두 양의 곱이 일정한지 확인하되, 표에 없는 값을 임의로 그래프에 찍지 않는다. 현재 문제를 막는 초등 계산이 분수나 단위 변환이라면 관련 개념 전체를 다시 시작하지 않고, 그 계산이 포함된 두 문제만 확인한 뒤 원래 중1 그래프로 돌아온다.
오답 원인을 다음 문제의 행동으로 바꾸기
오답 노트에는 ‘그래프를 틀림’이라고 쓰지 않고, 다음 문제에서 관찰할 행동을 적는다. ‘세로축 단위를 안 봄’은 ‘답을 쓰기 전에 축 이름과 단위를 네모 표시한다’로 바꾼다. ‘눈금 간격을 잘못 읽음’은 ‘0, 2, 4, 6처럼 실제 눈금 수를 직접 적는다’로 바꾼다. ‘표의 행과 열을 바꿈’은 ‘표의 첫 행과 첫 열에 각각 변수 이름을 써서 점을 찍는다’로 바꾼다.
교과서와 프린트의 표현이 다를 때에는 문장을 그래프의 언어로 바꾸는 연습도 한다. ‘매분 같은 양만큼 증가한다’는 말은 일정한 비율로 변하는지 확인하는 단서이고, ‘시간이 늘어날수록 단위 시간당 거리가 줄어든다’는 말은 단순히 선이 올라가는지만 볼 수 없게 한다. 문제에 불필요한 이동 시간이나 전체 인원처럼 그래프의 두 축과 직접 연결되지 않는 정보가 있다면 표시만 하고 계산에 넣지 않는다.
다음 날에는 회전한 자료와 새 조건으로 확인하기
훈련 직후 같은 그래프를 다시 맞히는 것으로 끝내지 않는다. 다음 날에는 숫자와 축의 단위를 바꾼 표를 제시한다. 예를 들어 처음에는 시간(분)과 거리(km)였던 것을 시간(초)과 거리(m)로 바꾸고, 눈금도 1칸씩이 아니라 5초 또는 10m 간격으로 설정한다. 학생은 먼저 단위를 확인한 뒤, 질문이 ‘거리 찾기’인지 ‘시간 찾기’인지 표시하고 점을 읽어야 한다.
그 다음에는 그래프를 일부만 보여 주거나 표에 불필요한 정보를 추가한다. 자료가 바뀌어도 축의 의미, 눈금, 대응 방향을 순서대로 확인한다면 외운 선의 모양에 의존하지 않게 된다. 정비례와 반비례 표를 번갈아 제시할 때에도 모든 관계를 정비례로 단정하지 않고, 주어진 대응값을 확인해 그래프와 연결한다.
일주일 뒤에는 학교자료를 보지 않은 상태에서 프린트의 한 문제를 시작하게 한다. 학생이 축 이름과 단위를 먼저 쓰고, 필요한 값만 골라 좌표 또는 표로 옮긴 뒤 답을 설명한다면 이전 훈련을 유지할 수 있다. 반대로 그래프의 모양은 맞게 읽었지만 단위를 빠뜨리거나 질문의 방향을 거꾸로 읽으면 그 한 행동만 다시 표시해 짧게 교정한다.
서초구중1수학과외에서 그래프 읽기를 다룰 때도 자료를 많이 모으는 것보다, 서로 다른 표현 속에서 같은 수학적 관계를 찾아내는 과정을 확인하는 것이 중요하다. 교과서와 프린트를 구분해 암기하지 않고, 새로운 눈금·단위·문장에서도 축을 확인하고 필요한 정보만 선택하는지까지 살펴야 그래프 문제를 독립적으로 풀 수 있다.