양재동중3수학과외, 도형 조건을 읽고 닮음의 대응을 독립적으로 찾는 과정
학생은 문제지에 나란히 그려진 두 삼각형을 보고 곧바로 “각 두 개가 같으니까 닮음”이라고 적었다. 그런데 실제 그림에는 같은 각이라는 표시가 하나뿐이었고, 나머지 조건은 두 변의 길이와 평행선으로 제시되어 있었다. 학생은 그림의 모양이 비슷하다는 인상에 기대어 대응변을 정했고, 계산 단계에서 어떤 변끼리 비례식을 세워야 하는지 멈췄다.
이런 도형 문제에서 먼저 필요한 것은 공식을 떠올리는 일이 아니다. 그림에 표시된 조건을 문장으로 바꾸고, 두 도형에서 같은 역할을 하는 각과 변을 정하는 과정이다. 양재동에서 언남중학교 통학을 마친 뒤 양재천 카페거리 주변을 지나 귀가하는 학생이라면, 이동 후 확보한 짧은 자습시간에도 문제의 그림을 다시 그리는 것보다 표시된 조건 한두 개를 정확히 읽는 연습을 우선할 수 있다. 경원중학교·내곡중학교·동덕여자중학교·반포중학교는 같은 서초구 내 참고 학교이므로 양재동 소재 학교와 구분해 학습 자료를 살펴볼 필요가 있다.
“모양이 비슷해 보인다”에서 멈추지 않고 조건의 출처 찾기
예를 들어 삼각형 ABC와 삼각형 ADE에서 D가 AB 위에 있고, E가 AC 위에 있으며 DE가 BC와 평행하다고 하자. 학생은 ∠A가 공통이라는 점은 찾았지만, 두 번째 각을 표시하지 않고 “그냥 닮음”이라고 결론냈다. 이때 수정 행동은 닮음 판정을 외우게 하는 것이 아니라, 평행선에서 생기는 각을 실제로 연결하는 것이다.
DE∥BC이므로 ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB가 된다. 공통각 ∠A까지 함께 보면 △ADE∼△ABC이다. 학생은 풀이 옆에 다음처럼 대응을 먼저 적는다.
∠A ↔ ∠A, ∠ADE ↔ ∠ABC, ∠AED ↔ ∠ACB
따라서 A-D-E와 A-B-C의 순서가 대응하고, AD와 AB, AE와 AC, DE와 BC가 각각 대응한다. 이 순서를 적지 않은 채 곧바로 AD/AB = DE/BC를 쓰면 식 자체는 맞을 수 있어도, 그림의 방향이 바뀌거나 문자가 뒤섞인 문제에서는 다시 틀릴 가능성이 높다.
길이를 대입하기 전에 대응 순서를 고정하는 이유
한 학생은 AD=4, AB=10, AE=6이라는 조건을 보고 DE를 구하는 문제에서 “4/10=6/DE”라고 적었다. 닮음의 대응을 잘못 연결한 것이다. DE는 AE가 아니라 BC와 대응하므로, BC의 길이가 주어지지 않았다면 이 정보만으로 DE를 바로 구할 수 없다. 문제에 BC=15가 추가되어 있다면 올바른 비례식은 다음과 같다.
AD/AB = DE/BC이므로 4/10 = DE/15, DE=6이다.
학생이 해야 할 수정 행동은 숫자를 다시 계산하는 것이 아니다. 식을 쓰기 전 두 삼각형의 꼭짓점 순서를 같은 줄에 놓고, 각 문자 아래에 대응 문자를 적는 것이다.
△ADE ∼ △ABC
A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C
그 뒤에만 AD/AB, AE/AC, DE/BC를 선택한다. 마지막으로 4/10과 6/15가 같은지 확인하면 비례식의 방향도 검산할 수 있다.
그림의 위치가 바뀌어도 같은 조건을 찾아내기
다음 학습에서는 작은 삼각형이 큰 삼각형 안쪽이 아니라 바깥쪽에 그려진 문제를 제시했다. 평행선 표시는 그대로였지만, 학생은 그림이 뒤집혔다는 이유로 닮음 조건을 찾지 못했다. 교사는 도형을 회전시키거나 모양을 닮게 그리지 않고, 문제에 적힌 “두 직선이 평행하다”는 문장과 공통으로 만나는 꼭짓점만 표시하게 했다.
학생은 먼저 공통으로 만나는 각을 동그라미 치고, 평행선과 한 직선이 만날 때 생기는 엇각 또는 동위각을 표시했다. 그 결과 그림의 크기와 위치가 달라도 “같은 각 두 개를 확보한 뒤 대응 순서를 정한다”는 첫 행동을 다시 꺼낼 수 있었다. 이 과정에서 중1·중2의 각의 위치 관계가 잠시 막히면 엇각 한 쌍만 확인하고 바로 현재의 닮음 문제로 돌아왔다. 평행선의 모든 각을 한꺼번에 복습하는 방식은 사용하지 않았다.
정답 대신 닮음의 근거를 말하게 하는 확인
학생이 맞힌 답만 보고 이해했다고 판단하지 않기 위해, 숫자와 구하는 대상을 바꾼 문제를 사용했다. 이번에는 △PQR 안에 점 S, T가 각각 PQ와 PR 위에 있고 ST∥QR인 상황에서 PS=3, PQ=9, PT=4, QR=12를 주고 ST를 묻게 했다.
학생은 먼저 ∠P가 공통이고, ST∥QR이므로 ∠PST=∠PQR이라고 설명했다. 이어 △PST∼△PQR, P↔P, S↔Q, T↔R을 적은 뒤 PS/PQ=ST/QR을 세웠다.
3/9 = ST/12이므로 ST=4이다.
이번에는 이전 문제의 숫자나 답을 기억해 적은 것이 아니라, 도형의 이름과 평행선의 위치가 바뀐 상태에서 첫 조건을 찾아 대응을 구성했다. 마지막에는 PT/PR도 확인하도록 했다. PT/PR의 값은 4/PR이므로, PR이 주어지지 않은 현재 조건만으로는 그 비를 수치화할 수 없다는 점도 구분했다. 주어진 정보로 가능한 것과 아직 결정할 수 없는 것을 나누는 과정까지 포함해야 도형 조건 문제를 독립적으로 푼 것으로 볼 수 있다.
양재동중3수학과외에서 이 유형을 다룰 때의 기준은 문제 수가 아니다. 학생이 새 그림을 받았을 때 모양을 보고 추측하지 않고, 표시된 각과 평행 조건을 찾아 닮음의 근거를 말한 뒤 대응 순서에 맞는 비례식을 세우는지 확인하는 데 있다.