서초동중3수학과외, 맞힌 도형 문제도 조건과 성질까지 검증하기
학생이 도형 문제를 풀고 답을 맞힌 뒤 곧바로 다음 문항으로 넘어갔다. 풀이에는 삼각형의 각을 표시하고 필요한 선을 연결한 흔적이 있었지만, 왜 두 각이 같은지 설명하는 문장은 없었다. 답이 맞았다는 사실만으로 풀이 전체가 타당하다고 판단한 것이다. 중3 도형 조건 문제에서는 계산 결과보다 주어진 조건을 어디에 사용했는지, 적용한 성질이 그림 속 상황에 맞는지를 확인하는 과정이 중요하다.
정답 뒤에 남아 있던 빈칸
예를 들어 한 학생은 평행한 두 직선이 표시된 도형에서 엇각을 이용해 두 각의 크기를 구했다. 답은 맞았지만 풀이에는 ‘엇각’이라는 말만 적혀 있었고, 어느 두 직선이 평행한지 표시하지 않았다. 그림을 조금 돌리거나 보조선의 위치를 바꾸면 같은 방식으로 풀 수 있을지 묻자 학생은 다시 그림을 처음부터 살폈다.
이때 틀린 계산을 고치는 것이 먼저가 아니다. 학생이 실제로 한 행동은 평행 표시를 확인하지 않은 채 눈에 보이는 모양만으로 각을 같다고 판단한 것이었다. 도형이 비슷하게 보인다는 이유로 성질을 적용하면, 평행 조건이 없는 새 문제에서 같은 결론을 내리게 된다.
그림의 모양과 주어진 조건을 분리해서 읽기
수업에서는 문제를 보자마자 계산하지 않고 조건을 두 종류로 나누어 적게 한다. 문제에 직접 주어진 표시는 평행, 수직, 같은 길이, 같은 각, 중점처럼 괄호를 쳐서 표시한다. 그다음 이 조건에서 바로 끌어낼 수 있는 성질을 옆에 연결한다. ‘두 직선이 평행하다’에서 ‘엇각의 크기가 같다’를 쓰더라도, 실제로 마주 보는 각이 엇각 관계인지 두 직선과 횡단선을 다시 확인하게 한다.
학생은 처음에는 그림에서 같은 크기로 보이는 각에 동그라미를 쳤다. 이후에는 먼저 평행 표시를 찾고, 각을 이루는 두 변을 적은 다음 성질을 말하게 했다. 예를 들어 ∠ABC와 ∠BCD를 비교할 때 단순히 “같아 보인다”고 하지 않고, AB와 CD가 평행이고 BC가 두 직선을 가로지르는 선이므로 두 각이 엇각인지 확인하는 식이다. 그림의 배치가 바뀌어도 판단 근거가 남도록 만드는 과정이다.
맞힌 풀이를 다시 검사하는 세 문장
한 문항을 해결한 뒤에는 다음 세 가지를 순서 없이 자연스럽게 확인한다.
- 내가 사용한 성질을 뒷받침하는 조건이 문제에 실제로 있는가?
- 비교한 두 각이나 두 선분의 위치가 그 성질의 관계에 맞는가?
- 구한 값이 도형 전체의 조건과 충돌하지 않는가?
삼각형의 세 각을 구하는 문제라면 한 각을 정한 뒤 나머지 각을 계산하고, 마지막에 세 각의 합이 180°인지 확인할 수 있다. 단, 이 검산은 아무 도형에나 기계적으로 붙이는 절차가 아니다. 해당 도형이 삼각형이라는 조건을 먼저 확인하고, 계산에 사용하지 않은 각이 있는지 살펴야 한다. 학생에게는 답 아래에 ‘사용한 조건-적용한 성질-확인 결과’를 짧게 적게 했다.
조건: 두 직선이 평행함 → 성질: 엇각의 크기가 같음 → 확인: 비교한 각이 같은 횡단선과 관련됨
서초동의 이동 시간을 풀이 검증 시간으로 바꾸기
서초동에서 서운중학교, 서일중학교, 서초중학교로 통학하는 학생은 학교와 주거지의 위치에 따라 방과 후 이동 시간이 달라질 수 있다. 서초포레스타2단지나 서초포레스타3단지처럼 생활권 안에서도 이동 동선이 달라지므로, 수업에서는 긴 과제를 무작정 늘리기보다 집에 도착한 뒤 확보되는 짧은 자습 시간에 한 문제를 검증하는 방식이 현실적이다. 같은 서초구의 경원중학교와 내곡중학교는 참고 학교로 볼 수 있지만 서초동 소재 학교로 구분해 다루지는 않는다.
학생에게는 학습지의 도형 문제를 모두 다시 풀게 하지 않고, 이미 맞힌 문제 중 조건 표시가 빠진 문항 하나를 골라 풀이 옆에 근거를 보완하게 했다. 이동 후 집중력이 떨어지는 날에는 그림을 다시 그리는 대신 평행 표시, 직각 표시, 같은 길이 표시만 찾아 체크하도록 했다. 다음 수업에서는 체크한 조건이 실제 풀이의 어느 줄에 쓰였는지 말로 설명하게 했다.
그림을 돌렸을 때도 같은 성질을 찾는가
이해 여부는 같은 문제를 다시 맞히는 것으로 판단하지 않았다. 처음에는 평행선이 수평으로 놓인 그림을 사용했다면, 다음 문항에서는 두 평행선을 비스듬히 배치하고 횡단선이 반대 방향으로 지나가게 했다. 구하는 대상도 각의 크기에서 미지수 x로 바꾸었다. 예를 들어 한 각이 3x+10°, 그 엇각이 5x-30°라면 두 각이 같다는 근거를 먼저 적은 뒤
3x+10=5x-30
으로 정리하여 x=20을 구한다. 이후 각의 크기는 70°가 되며, 두 엇각이 모두 70°인지 대입해 확인한다. 학생이 답만 20이라고 쓰면 완료로 보지 않고, x가 각의 크기 자체가 아니라 식의 값을 결정하는 수라는 점까지 구분하게 한다.
또 다른 변형에서는 평행 표시를 없애고 한 직선 위의 인접한 두 각만 제시했다. 이때 학생이 이전 문제의 ‘엇각’을 그대로 가져오지 않고, 직선 위의 각의 합이 180°라는 조건을 선택하는지 살폈다. 도형의 모양이 비슷해도 필요한 성질은 주어진 조건에 따라 달라진다.
풀이가 끝나는 위치를 바꾸기
학생의 변화는 정답 개수보다 첫 행동에서 확인됐다. 이전에는 그림을 보고 바로 같은 각을 찾았지만, 이제는 표시된 조건에 밑줄을 긋고 비교할 선과 각을 이름으로 적는다. 풀이가 끝난 뒤에는 사용한 성질을 지울 경우 답이 유지되는지 스스로 묻는다. 조건과 성질의 연결이 사라지면 맞힌 답도 다시 검토 대상으로 삼는다.
서초동중3수학과외에서 다루는 도형 조건 문제의 기준은 많은 문항을 푼 뒤 정답률을 세는 데만 있지 않다. 숫자와 그림의 방향이 바뀌었을 때도 학생이 조건을 먼저 찾고, 그 조건에 맞는 성질을 선택하며, 결과를 도형 전체에 대입해 확인하는지에 있다.