서초동중1수학과외, 소인수분해에서 주어진 것과 구할 것을 나누는 첫 표시
“2²×3×5이니까 답은 2²×3×5입니다.”
한 중1 학생이 소인수분해 문제를 이렇게 적었다고 가정해 보자. 계산 과정은 어느 정도 따라왔지만, 문제에서 무엇을 구하라고 했는지 다시 확인하지 않은 채 눈앞에 보이는 소인수분해 결과를 답으로 옮긴 장면이다. 소인수분해 자체를 몰라서라기보다, 문제의 주어진 조건과 구할 대상을 구분하지 않고 시작한 것이 핵심 원인이다.
서초동에서 서운중학교, 서일중학교, 서초중학교의 학교생활과 수행평가 준비가 겹치면 친구의 선행 속도에 맞추어 현재 단원을 빨리 넘기려는 행동이 나타날 수 있다. 서초구 내 참고 학교인 경원중학교와 내곡중학교를 서초동 소재 학교로 혼동하지 않도록 구분해야 하듯, 수학 문제에서도 이미 주어진 정보와 새로 찾아야 할 값을 구분해야 한다. 서초포레스타2단지나 서초포레스타3단지 등 생활권에서 방과 후 이동 시간이 생긴다면, 짧은 자습시간에도 첫 표시부터 스스로 남기는 연습이 중요하다.
정답보다 먼저 문제의 역할을 나눈다
소인수분해 문제를 볼 때 학생은 숫자를 보자마자 나누기를 시작하거나, 친구가 푼 풀이의 형식을 그대로 따라 적기 쉽다. 특히 부모나 선생님이 “이 문제부터 해”라고 정해 주기를 기다리다가 풀이를 시작하면, 설명을 들을 때는 이해해도 책을 덮은 뒤 첫 줄을 만들지 못한다.
이를 막기 위해 문제를 읽은 직후 두 가지 표시만 한다.
- 주어진 수, 조건에는 밑줄을 긋는다.
- 구할 것에는 동그라미를 친다.
예를 들어 “84를 소인수분해하여 나타내시오.”에서는 84에 밑줄을 긋고, ‘소인수분해하여 나타내시오’에 동그라미를 친다. 이때 답은 84 자체가 아니라 84를 소수의 곱으로 나타낸 결과이다. 84를 나누면 84=2×42=2×2×21=2²×3×7이므로 최종 답은 2²×3×7이다.
반대로 “2²×3×7을 계산하여 원래 수를 구하시오.”라면 이미 주어진 것은 소인수분해 형태이고, 구할 것은 원래 수다. 2²×3×7=4×3×7=84이므로 답은 84가 된다. 같은 숫자가 등장해도 무엇이 주어졌고 무엇을 구하는지에 따라 풀이의 방향이 달라진다.
실제 오답은 계산 중간이 아니라 확인 단계에서 생긴다
예를 들어 학생이 180을 다음과 같이 풀었다고 하자.
180=2×90=2×3×30=2×3×2×15=2²×3×5
이 결과는 정확하다. 하지만 학생이 2²×3×5를 적은 뒤 원래 수로 다시 곱해 보지 않으면, 다음 문제에서 소인수 하나를 빠뜨려도 알아차리기 어렵다. 360을 풀다가 360=2³×3²×5가 아니라 2³×3×5로 적는 경우가 그렇다. 결과를 역으로 계산하면 2³×3×5=120이므로 원래 수 360과 다르다는 사실을 바로 발견할 수 있다.
또 다른 장면에서는 “72의 소인수분해 결과를 이용하여 약수의 개수를 구하시오.”라는 문제에서 72=2³×3²까지는 맞게 구한 뒤, 3×2=6을 답으로 적을 수 있다. 이 문제의 구할 것은 소인수분해 결과가 아니라 약수의 개수이므로, 각 지수에 1을 더해 (3+1)(2+1)=12로 계산해야 한다. 주어진 수, 중간 결과, 최종적으로 구할 값을 표시하지 않았기 때문에 생긴 오답이다.
풀이를 시작하는 학생의 손동작을 바꾼다
연습에서는 정답을 가린 상태에서 문제의 첫 줄에 먼저 표시하게 한다. 학생은 다음 순서로 직접 수행한다.
- 문제에서 주어진 수에 밑줄을 긋는다.
- ‘소인수분해’, ‘원래 수’, ‘약수의 개수’처럼 구할 말을 동그라미 친다.
- 나눗셈을 한 줄씩 내려 쓰고, 각 단계에서 소수로 나누었는지 확인한다.
- 소인수분해가 끝나면 지수 형태로 정리한다.
- 정답을 쓰기 전에 소인수의 곱을 다시 계산하여 처음 수와 비교한다.
예를 들어 210은 210=2×105=2×3×35=2×3×5×7이므로 2×3×5×7로 정리한다. 역방향 확인은 2×3×5×7=210이다. 이 확인은 단순히 답을 다시 보는 것이 아니라, 풀이 방향이 맞았는지 검사하는 과정이다. 학생이 결과를 보여 달라고 하기 전에 이 다섯 단계를 끝내도록 하는 것이 목표다.
초등 계산의 누적 공백이 발견되더라도 분수나 모든 계산 단원을 처음부터 다시 진행하지 않는다. 현재 210을 곱으로 되돌리는 과정에서 곱셈이 막힐 때만 2×3=6, 6×5=30, 30×7=210처럼 필요한 계산을 짧게 복구하고 곧바로 소인수분해 문제에 다시 적용한다.
같은 답이 아닌 다른 조건으로 확인한다
한 문제를 맞힌 직후 같은 문제를 반복하는 것만으로는 독립적인 적용을 확인하기 어렵다. 다음 문제에서는 숫자와 질문을 바꾼다.
- 96을 소인수분해하고 결과를 다시 곱해 원래 수를 확인한다.
- 2⁴×3을 보고 원래 수를 구한다.
- 150의 소인수분해 결과를 이용해 약수의 개수를 구한다.
- “소인수분해 결과를 쓰시오”와 “원래 수를 구하시오”가 섞인 두 문항을 구분한다.
96=2⁵×3이고, 2⁵×3=32×3=96이다. 150=2×3×5²이므로 약수의 개수는 (1+1)(1+1)(2+1)=12이다. 문제마다 숫자가 달라져도 먼저 밑줄과 동그라미를 남기는지, 결과를 원래 수로 되돌리는지 확인한다.
다음 날에는 표시 없이 바로 계산하지 않고 3분 동안 문제의 주어진 것과 구할 것을 나눈다. 일주일 뒤에는 소인수분해 결과가 전개도나 다른 자료에 제시된 변형 문제처럼 보이더라도, 먼저 수와 요구사항을 구분한 뒤 역산하는지 살핀다. 풀이 시작 전에 조건 표시가 남고, 숫자나 질문이 바뀌어도 소인수를 빠뜨리지 않는다면 이 훈련은 다음 단원으로 넘어갈 수 있다.
자주 묻는 질문
소인수분해를 했는데도 다시 곱해 보아야 하나요?
그렇다. 소인수 하나나 지수를 빠뜨리면 겉보기에는 풀이 형식이 맞아 보일 수 있다. 소인수의 곱이 처음 수와 같은지 확인하면 누락을 즉시 찾을 수 있다.
문제를 읽는 표시가 계산보다 중요한가요?
표시만으로 답이 정해지는 것은 아니지만, 소인수분해 결과를 구하는 문제인지 원래 수나 약수의 개수를 구하는 문제인지 구분하는 출발점이 된다. 숫자가 바뀐 문제에서도 같은 시작을 유지하는 것이 핵심이다.