방배동중3수학과외, 도형 조건을 읽고 필요한 성질을 선택하는 연습
“이 문제는 닮음이니까 비례식을 세우면 되죠?”
방배동의 한 중3 학생은 학교 프린트의 도형 문제를 보자마자 그림 속 삼각형 두 개에 표시된 길이를 찾아 비례식을 먼저 쓰고 있었다. 하지만 문제에는 닮음 조건이 완성되어 있지 않았고, 학생은 직각 표시와 평행 표시를 확인하지 않은 채 눈으로 비슷해 보이는 모양만 근거로 삼고 있었다. 계산은 빠르지만 어떤 조건이 어떤 성질을 만들어 내는지 설명하지 못하는 상태였다.
그림의 모양보다 먼저 확인할 표시
도형 조건 문제에서 첫 행동은 공식을 떠올리는 것이 아니라 주어진 정보를 분류하는 일이다. 학생에게 다음과 같은 순서로 그림을 읽게 했다.
- 같은 길이를 나타내는 표시가 있는가?
- 평행선이나 직각 표시가 있는가?
- 같은 각을 나타내는 표시가 있는가?
- 문장으로 제시된 조건 중 그림에 아직 표시하지 않은 것은 무엇인가?
- 문제에서 구하라는 값과 직접 연결되는 성질은 무엇인가?
예를 들어 두 직선이 평행하다는 조건이 있다면 엇각이나 동위각이 같다는 사실을 사용할 수 있다. 두 삼각형의 한 각이 같다는 것만으로는 닮음을 바로 결정할 수 없고, 다른 한 각이 같거나 대응변의 비가 같다는 추가 근거가 필요하다. 직각 표시가 있다고 해서 모든 변의 길이를 같다고 볼 수도 없다.
학생은 처음에 그림에서 기울기가 비슷한 두 변을 대응변으로 정했다. 그러나 실제 대응 관계는 모양이 아니라 같은 각의 위치와 조건으로 정해야 한다. 따라서 두 삼각형의 각을 각각 작은 기호로 표시하고, 같은 각끼리 연결한 뒤 대응하는 변을 적게 했다.
‘닮아 보인다’와 ‘닮음이 증명된다’ 사이
학생의 첫 풀이에는 다음과 같은 문장이 적혀 있었다.
두 삼각형은 모양이 비슷하므로 작은 변과 큰 변의 비가 같다.
이 문장은 결론을 먼저 사용하고 있다. 수정할 때는 비례식부터 지우고, 닮음의 근거를 한 줄씩 확인하게 했다. 평행선 때문에 생기는 각, 공통으로 가지는 각, 직각으로 같은 각을 구분하여 표시한 뒤에야 닮음 조건을 선택하도록 했다.
가령 한 직선이 두 평행선을 가로지르고, 그 직선 위에 두 선분이 놓인 상황이라면 학생은 평행선에서 생기는 각이 같다는 사실을 먼저 적는다. 두 삼각형이 한 각을 공통으로 가진다면 두 각이 같다는 근거가 마련된다. 그때 두 삼각형은 두 각이 각각 같으므로 닮음이라고 판단할 수 있다. 이후에야 대응변의 비를 세워 미지의 길이를 구한다.
반대로 직각삼각형이 등장했다는 이유만으로 닮음이라고 쓰면 안 된다. 직각은 하나의 같은 각을 제공할 뿐이며, 나머지 한 각이 같다는 근거가 추가되어야 한다. 학생이 “직각삼각형끼리는 항상 닮음”이라고 말했을 때에는 30도·60도·90도 삼각형과 40도·50도·90도 삼각형을 비교하게 했다. 둘 다 직각삼각형이지만 각의 크기가 다르므로 항상 닮은 것은 아니다.
조건을 식으로 옮기기 전 대응 관계 고정하기
도형 문제에서 계산 실수처럼 보이는 오답도 실제로는 대응 관계를 잘못 정한 경우가 많다. 학생은 작은 삼각형의 밑변과 큰 삼각형의 빗변을 서로 대응시킨 뒤 비례식을 세웠다. 이를 막기 위해 각의 순서를 먼저 적었다. 예를 들어 ∠A와 ∠D, ∠B와 ∠E가 각각 같다면 나머지 각은 ∠C와 ∠F가 대응한다. 따라서 삼각형 ABC와 삼각형 DEF의 대응 순서를 그대로 유지하여
AB와 DE, BC와 EF, CA와 FD를 짝지어야 한다.
그 다음에만 AB/DE = BC/EF와 같은 비를 사용한다. 학생이 구하려는 선분이 어느 변과 대응하는지 확인하지 않고 숫자만 대입하지 않도록, 비례식 양변에 ‘작은 도형/큰 도형’ 또는 ‘첫 번째 도형/두 번째 도형’을 표시하게 했다. 마지막에는 구한 값을 원래 비례식에 다시 넣어 두 비가 같은지 확인했다.
방배동의 이동 시간을 풀이 기록으로 바꾸기
방배동에서는 동덕여자중학교, 서문여자중학교, 이수중학교가 지역 내 중학교로 확인된다. 방배동삼호아파트와 방배신삼호아파트 등 생활권에서 학교나 수업 장소로 이동한 뒤에는 긴 학습 시간을 한 번에 확보하기보다, 이동 직후 20분 정도를 활용해 그날 본 도형 한 문제의 조건 표시를 다시 확인하는 방식이 현실적이다. 같은 서초구의 경원중학교와 내곡중학교는 참고 학교이므로 방배동 소재 학교와 구분해 볼 필요가 있다.
이 시간에는 새 문제를 많이 풀기보다, 수업에서 틀린 한 문항의 그림을 가리고 조건만 말해 보게 했다. 학생은 “평행선이 있으니 각이 같다”에서 멈추지 않고 “어떤 두 각이 엇각인지, 그 결과 어느 두 삼각형의 두 각이 같은지”까지 말해야 했다. 통학 뒤 짧은 자습 시간에도 계산보다 조건 판별을 먼저 훈련할 수 있다.
도형을 돌려 놓아도 같은 판단을 하는가
다음 확인 문제에서는 기존 그림의 위치를 바꾸었다. 처음에는 작은 삼각형이 위에 있었지만, 새 문제에서는 작은 삼각형을 오른쪽에 배치하고 평행 표시의 방향도 달리했다. 숫자와 구하는 대상도 바꾸어, 이번에는 길이를 구하지 않고 두 선분의 비가 같은지 판단하게 했다.
학생은 잠시 그림의 모양을 따라가려 했지만, 먼저 평행 표시를 찾고 같은 각을 표시했다. 이어 대응 순서를 적은 뒤 비를 비교했다. 그림이 회전했어도 필요한 첫 행동인 ‘조건 표시-같은 각 연결-대응변 결정’이 유지된 것이다. 이때 정답만 맞힌 것이 아니라, 왜 그 비를 비교하는지 설명할 수 있는지를 확인했다.
도형 조건 문제에서 공식 암기는 출발점이 되기 어렵다. 주어진 표시가 만들어 내는 각과 길이의 관계를 찾고, 그 관계가 닮음이나 비례식으로 이어지는지 검토한 뒤 계산해야 한다. 학생의 풀이에 필요한 기준은 문제 수가 아니라 새로운 배치에서도 조건을 근거로 첫 줄을 스스로 쓸 수 있는가에 둔다.