반포동중3수학과외, 속력·거리 문제의 변형 조건까지 읽어내기
“갈 때는 시속 4km, 올 때는 시속 6km였으니 평균 속력은 5km입니다.” 학생이 이렇게 답을 적었다. 숫자 두 개를 더해 2로 나눈 계산은 자연스러워 보이지만, 왕복 거리와 시간이 같다는 조건이 없으면 이 답은 성립하지 않는다. 속력·거리 문제에서 막히는 지점은 계산 자체보다 각 구간의 거리와 시간을 어떻게 연결하는지에 있다.
중3 수학 과외에서 먼저 확인한 것은 학생이 공식을 외웠는지가 아니었다. 학생은 문제를 읽자마자 주어진 속력만 동그라미 치고, 거리와 시간을 표로 옮기지 않았다. “속력은 거리 나누기 시간”이라고 말하면서도 두 구간의 시간이 달라질 수 있다는 점은 식에 반영하지 못했다. 따라서 한 문제를 다시 풀게 하기보다, 속력·거리·시간의 관계를 구간별로 기록하는 행동부터 바꾸었다.
속력만 평균 내면 안 되는 왕복 문제
집에서 학원까지의 거리가 6km이고, 갈 때 시속 4km, 돌아올 때 시속 6km로 이동했다고 하자. 갈 때 걸린 시간은
6÷4=3/2시간
돌아올 때 걸린 시간은
6÷6=1시간
이다. 전체 거리는 12km, 전체 시간은 5/2시간이므로 왕복 평균 속력은
12÷(5/2)=24/5km/h
가 된다. 5km/h가 아닌 이유는 두 속력으로 이동한 시간이 같지 않기 때문이다. 학생에게는 “평균 속력은 속력의 평균이 아니라 전체 거리 ÷ 전체 시간”이라고 적게 한 뒤, 각 구간의 거리와 시간을 분리해 표에 기록하도록 했다.
- 갈 때: 거리 6km, 속력 4km/h, 시간 3/2시간
- 올 때: 거리 6km, 속력 6km/h, 시간 1시간
- 전체: 거리 12km, 시간 5/2시간
이 표는 단순한 정리 양식이 아니다. 문제의 조건이 바뀌었을 때 무엇을 다시 계산해야 하는지 보여주는 장치다. 예를 들어 왕복 거리가 같다는 조건이 사라지고, 갈 때 6km를 시속 4km로 이동한 뒤 30분 쉬고 시속 6km로 돌아온다면 평균 속력의 분모에는 이동 시간뿐 아니라 문제에서 요구하는 전체 시간에 휴식 시간이 포함되는지도 확인해야 한다. 학생은 이전 풀이의 5/2시간을 그대로 쓰지 않고, “휴식 시간을 포함한 평균인지”를 먼저 표시해야 한다.
거리의 일부가 바뀌면 같은 식을 복사하지 않기
다음 문제에서는 전체 거리를 12km로 고정하지 않았다. 어떤 사람이 일정한 속력으로 8km를 이동하는 데 40분이 걸렸다. 같은 속력으로 14km를 이동하면 몇 분이 걸리는지 묻는 문제다. 학생은 8과 14를 더하거나, 40에 14를 곱한 뒤 8로 나누는 과정에서 단위를 확인하지 않고 계산하려 했다.
먼저 40분을 시간 단위로 바꾸면 2/3시간이다. 속력은
8÷(2/3)=12km/h
따라서 14km에 걸리는 시간은
14÷12=7/6시간=70분
이다. 이때 수정 행동은 ‘비례식을 외워 쓰기’가 아니라, 주어진 두 양의 단위를 통일한 뒤 속력 또는 시간 중 무엇을 먼저 구해야 하는지 말하는 것이다. 학생은 “거리와 시간이 함께 주어졌으므로 속력을 구하고, 새 거리에서 시간을 계산한다”고 설명한 뒤 식을 작성했다.
반대로 같은 거리에서 속력이 변하는 문제라면 속력과 시간이 반비례한다는 말만으로 답을 정하지 않는다. 실제로 거리가 10km이고 시속 5km로 이동하면 2시간이 걸리지만, 시속 8km로 이동하면 10÷8=5/4시간이다. 학생은 “속력이 커지면 시간은 작아진다”는 방향을 확인하되, 최종 답은 거리 ÷ 속력으로 계산하게 했다.
문장 속 ‘쉬는 시간’과 ‘동시에 출발’ 구별하기
변형 문제에서 학생이 가장 오래 멈춘 장면은 두 사람이 서로 마주 보며 출발하는 문제였다. A와 B가 18km 떨어져 있고, A는 시속 4km, B는 시속 5km로 동시에 출발한다면 만나는 시간은 두 속력을 평균 내서 구하지 않는다. 서로 가까워지는 속력은 4+5=9km/h이므로
18÷9=2시간
후에 만난다. 학생은 처음에 18÷4와 18÷5를 각각 계산했지만, 두 사람이 같은 시간 동안 이동한다는 ‘동시 출발’ 조건을 놓쳤다. 이때 문제 문장에서 출발 시점과 이동 방향에 밑줄을 긋고, 두 사람이 만날 때까지의 시간이 같은지 확인하게 했다.
그러나 한 사람이 30분 늦게 출발한다면 식은 달라진다. A가 먼저 시속 4km로 30분 동안 이동하면 2km를 간다. 이후 두 사람 사이의 거리는 16km이고, 함께 가까워지는 속력은 9km/h이므로 추가 시간은 16÷9시간이다. 처음부터 18÷9를 쓰면 늦게 출발한 조건을 무시하게 된다. 학생은 숫자를 계산하기 전에 ‘먼저 움직인 거리’를 따로 표시하는 방식으로 풀이를 수정했다.
반포동에서 중학교 수학을 준비할 때도 학교별 내신 일정과 학생의 주간 이동·학원 시간이 다를 수 있으므로, 특정 학교의 출제 성향을 지역 전체의 특징처럼 단정하기보다 현재 학교 프린트에서 어떤 조건을 읽지 못했는지 확인하는 편이 적절하다. 반포중학교, 방배중학교, 세화여자중학교, 신반포중학교, 원촌중학교가 지역 내 중학교로 확인되지만, 실제 학습 계획은 학교명보다 시험 범위와 학생의 주간 일정에 맞춰 조정해야 한다. 반포자이아파트나 반포래미안아이파크아파트처럼 생활권이 달라지면 이동 시간과 수업 가능 시간도 달라질 수 있어, 과제는 풀이량보다 조건표를 완성하는 데 초점을 맞출 수 있다.
새 숫자에서 첫 행동을 다시 꺼내는지 확인하기
다음 시간에는 같은 왕복 문제를 반복하지 않았다. 집과 도서관 사이의 거리를 9km로 바꾸고, 갈 때 시속 3km, 올 때 시속 6km로 제시했다. 학생은 먼저 갈 때 3시간, 올 때 3/2시간을 계산하고, 전체 거리 18km와 전체 시간 9/2시간을 구해 평균 속력을
18÷(9/2)=4km/h
로 답했다. 이번에는 3과 6을 평균 내지 않았고, 두 구간의 시간을 합산했다.
마지막으로 돌아오는 길에 30분 정차하는 조건을 추가했다. 학생은 이동 시간 9/2시간과 정차 시간 1/2시간을 구분하여 전체 시간이 5시간임을 적고, 문제에서 ‘이동 중 평균 속력’을 묻는지 ‘출발부터 도착까지의 평균 속력’을 묻는지 확인했다. 후자의 경우 평균 속력은 18÷5=18/5km/h가 된다. 숫자와 조건이 바뀌어도 먼저 구간별 거리·속력·시간을 분리하고, 마지막에 전체 기준을 정하는 행동이 유지되는지가 속력·거리 문제의 독립 적용 기준이다.