서대문중2수학과외, 전체 경우와 사건 경우를 나눠 확률식 세우기
중2 확률에서 답을 틀리는 장면은 계산보다 식을 세우기 전부터 시작되는 경우가 많다. 학생은 문제에 나온 선택지를 빠르게 읽고 곱셈이나 나눗셈을 먼저 하지만, 분모에 들어갈 전체 경우와 분자에 들어갈 사건 경우를 구분하지 않는다. 특히 “두 개를 동시에 뽑는다”, “적어도 하나”, “순서를 생각하지 않는다”와 같은 조건이 붙으면 목록을 만들지 않은 채 감으로 확률을 정한다.
서대문 지역에서 학교 자료를 확인할 때는 가재울중학교, 동명여자중학교, 명지중학교, 서연중학교, 신연중학교, 연북중학교를 대표 학교 자료로 참고할 수 있다. 다만 이 학교들이 남가좌동, 창천동, 현저동, 홍은동, 홍제동의 모든 학생과 같은 통학권이나 동일한 시험 범위를 가진다고 단정할 수는 없다. 서대문독립공원이나 명물거리처럼 방과 후 이동 지점이 다르고, DMC래미안e-편한세상3단지 주변처럼 귀가 동선도 달라 실제 공부 시간은 학생마다 달라진다.
확률식보다 먼저 확인해야 할 두 목록
확률은 기본적으로 사건이 일어나는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누어 구한다. 따라서 학생이 가장 먼저 해야 할 일은 식을 쓰는 것이 아니라 가능한 결과를 빠짐없이 적는 것이다. 예를 들어 주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 1개가 있고 공 하나를 뽑는다면 전체 경우를 색으로만 구분할 때는 빨강, 파랑으로 나누지만, 공에 번호가 붙어 있고 각각 뽑힐 가능성이 같다면 빨간 공 1번, 빨간 공 2번, 파란 공 1번처럼 구분해야 한다.
두 개의 동전을 던지는 문제라면 전체 경우는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지다. 앞면이 한 번만 나오는 사건은 앞뒤와 뒤앞 두 가지이므로 확률은 2/4, 즉 1/2이다. 앞뒤와 뒤앞을 하나로 합치면 전체 목록의 기준과 사건 목록의 기준이 달라져 잘못된 식이 된다.
전체 경우를 먼저 같은 기준으로 나열하고, 그중 조건에 맞는 사건만 표시한 뒤, 마지막에 확률식을 쓴다.
실제 풀이에서 드러나는 막힘
학생에게 “주사위 두 개를 던졌을 때 합이 5가 되는 확률”을 제시하면 1부터 6까지의 눈을 곱해 전체 경우를 36으로 잡는 것까지는 한다. 그러나 사건을 1과 4, 2와 3 두 가지만 적고 끝내거나, 4와 1을 같은 경우로 처리해 2/36이라고 쓴다. 실제로는 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)의 네 가지이므로 확률은 4/36=1/9이다.
또 다른 장면에서는 “적어도 한 번 앞면”을 묻는 문제에서 앞면이 한 번 나오는 경우만 적는다. 두 번 모두 앞면인 경우를 빠뜨려 2/4라고 답한다. 적어도 한 번 앞면인 경우는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞 세 가지이므로 3/4이다. ‘적어도’라는 조건을 ‘정확히 한 번’으로 바꿔 읽은 조건 누락 오류다.
이런 학생은 맞힌 문제도 오답 목록에서 지우지 못하고 풀이를 다시 베껴 적는 데 시간을 쓴다. 반대로 틀린 문제는 단순 계산 실수로 표시해 두어, 전체 경우 누락인지 사건 조건 해석 오류인지 구별하지 못한다. 주말 미완료 학습이 쌓이면 긴 문제를 많이 풀기보다 한 문항에서 목록 작성과 조건 표시를 정확히 끝내는 기준이 필요하다.
목록을 만드는 훈련 순서
- 문제에서 결과가 한 번 정해지는지, 두 번 연속 정해지는지 먼저 표시한다.
- 순서를 구별하는 상황인지 확인하고, 구별한다면 (1,4)와 (4,1)을 따로 적는다.
- 전체 경우 목록을 먼저 작성한 뒤 사건 조건에 맞는 결과에 동그라미를 친다.
- ‘적어도’, ‘이상’, ‘이하’, ‘서로 다른’, ‘같은 색’ 같은 조건에 밑줄을 긋는다.
- 분모에는 전체 경우 수, 분자에는 조건을 만족하는 사건 수를 넣고 두 수가 같은 기준으로 세어졌는지 확인한다.
- 답을 기약분수로 줄인 뒤, 사건 수가 전체 경우 수보다 큰지와 확률이 0과 1 사이인지 점검한다.
경우를 일일이 나열하기 어려운 문제는 수형도로 바꾼다. 예를 들어 첫 번째 동전에서 앞면과 뒷면 가지를 만든 뒤, 각 가지에서 두 번째 결과를 다시 뻗는다. 가지 끝에 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤를 적으면 누락과 중복을 눈으로 확인할 수 있다. 단, 두 주사위의 눈처럼 각 결과가 동일한 가능성을 갖는지 문제의 조건을 먼저 살펴야 한다. 조건이 주어지지 않았는데 결과의 확률을 임의로 다르게 정해서는 안 된다.
서대문 학생의 이동 시간까지 반영한 학습 운영
서대문 안에서도 학교와 집, 학원 사이 이동 시간이 다르므로 방과 후 학습량을 일률적으로 정하지 않는다. 귀가 전에 확보한 짧은 시간에는 새 문제를 여러 장 풀기보다 확률 한 문제의 전체 목록과 사건 목록을 각각 작성한다. 주말에는 미완료 문항을 모두 끝내려 하기보다, 틀린 이유를 ‘경우 중복’, ‘경우 누락’, ‘조건 해석’, ‘확률식 설정’ 중 하나로 분류하고 다음 날 한 문항만 다시 확인한다.
학교 프린트나 수행평가에서 풀이 설명을 요구한다면 “전체 경우는 4가지이고, 사건에 해당하는 경우는 3가지이므로 확률은 3/4이다”처럼 목록의 근거와 식을 함께 적게 한다. 답만 맞힌 문제는 해결 문항으로 표시하고, 이유까지 설명하지 못한 문제만 짧은 보충 대상으로 남긴다. 이것이 이미 해결한 문제까지 계속 오답 목록에 쌓아 두는 습관을 줄이는 방법이다.
새 조건으로 독립 검증하기
동전 두 개 문제를 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 동전 대신 주사위 두 개를 사용해 합이 7이 되는 확률을 묻고, 학생이 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)을 빠짐없이 적는지 확인한다. 전체 경우는 36가지이므로 확률은 6/36=1/6이다.
그다음에는 조건을 바꿔 “합이 8 이상”을 제시한다. 학생은 가능한 전체 결과 36가지를 기준으로 합이 8, 9, 10, 11, 12인 결과를 분류해야 한다. 마지막으로 제한 시간을 정해 서술형 답안을 작성하게 하고, 제출 전 전체 경우 수, 사건 수, 조건 표현, 기약분수 여부를 스스로 점검하게 한다. 숫자와 사건 조건을 바꾼 새 문제에서도 같은 절차를 유지할 때 확률식 세우기가 독립적으로 자리 잡았다고 판단한다.
서대문중2수학과외에서 확인하는 변화
과외에서는 풀이량보다 사고 흔적을 본다. 학생이 처음부터 확률식을 쓰려 하면 연필을 내려놓고 전체 경우 목록부터 작성하게 한다. 목록이 길어지면 수형도로 전환하고, 사건에 해당하는 결과를 색으로 표시한다. 이후 학생이 자신의 식을 말로 설명하게 하여 분모와 분자의 기준이 일치하는지 확인한다.
수업 후에는 새 문제 한두 개만 남긴다. 하나는 순서를 구별하는 문제, 다른 하나는 ‘적어도’나 ‘이상’처럼 조건 해석이 필요한 문제로 구성한다. 다음 수업에서 같은 숫자가 아닌 새 상황으로 검증하며, 맞힌 답보다 경우의 중복·누락 없이 근거를 제시했는지를 기준으로 학습 상태를 기록한다.
자주 묻는 질문
경우를 모두 적어야 하나요?
작은 수의 경우에는 목록이나 수형도로 직접 확인하는 것이 안전하다. 경우가 많아지면 규칙을 사용하되, 전체 경우와 사건 경우의 기준은 먼저 점검해야 한다.
앞뒤와 뒤앞은 항상 다른 경우인가요?
두 동전을 연속으로 던지는 것처럼 순서를 구별하는 문제라면 다르다. 순서를 구별하지 않는다고 명시된 상황에서는 같은 결과로 볼 수 있으므로 문제 조건을 먼저 확인해야 한다.
확률식만 맞으면 풀이 설명은 생략해도 되나요?
서술형이나 수행평가에서는 전체 경우와 사건 경우를 어떻게 세었는지 적어야 한다. 목록의 근거와 확률식을 함께 제시해야 조건 누락 여부를 확인할 수 있다.