서대문구중3수학과외, 넓이와 길이 문제에서 풀이 근거와 검산 세우기
“가로 8cm, 세로 5cm인 직사각형에서 한 변을 2cm 늘리면 넓이는 얼마나 변하는가?”라는 문제에 학생은 곧바로 8×5=40, 2를 더하면 42라고 적었다. 답을 빨리 쓰는 데에는 성공했지만, 무엇을 2cm 늘렸는지와 넓이가 어떤 방식으로 달라지는지는 설명하지 못했다. 이 장면은 계산 실수보다 넓이와 길이를 같은 종류의 수처럼 다루는 데서 생긴 문제였다.
길이의 변화와 넓이의 변화를 같은 줄에 놓지 않기
현재 학생은 직사각형의 넓이를 가로×세로로 계산할 수 있고, 단순한 도형의 둘레도 구한다. 그러나 문제에 “한 변을 늘인다”, “일정한 폭을 잘라낸다”, “남은 부분의 넓이를 구한다”와 같은 조건이 붙으면 먼저 숫자를 계산한다. 예를 들어 가로 8cm, 세로 5cm인 직사각형의 가로를 2cm 늘인 경우에는 새 가로가 10cm가 된다. 따라서 새 넓이는 10×5=50㎠이고, 넓이의 변화는 50-40=10㎠이다.
여기서 2cm는 길이의 변화이고, 10㎠는 넓이의 변화다. 학생이 적은 40+2=42는 단위도 맞지 않고, 늘어난 부분인 2×5=10㎠도 반영하지 못한다. 풀이 첫 줄에 ‘새 길이’, 다음 줄에 ‘새 넓이’, 마지막에 ‘넓이의 변화’를 구분해 쓰도록 바꾸자 계산 순서가 눈에 보이기 시작했다.
그림을 다시 그리지 않아도 늘어난 부분을 식으로 표시하기
학생은 도형 그림이 작거나 일부 조건이 문장으로 제시되면 가로와 세로를 바꿔 읽기도 했다. 그래서 문제를 읽은 뒤 숫자 옆에 단위를 붙이고, 변한 길이에 화살표를 표시하게 했다. 가로 12m, 세로 7m인 직사각형에서 세로만 3m 줄어든다면 기존 넓이는 12×7=84㎡, 새 세로는 7-3=4m, 새 넓이는 12×4=48㎡이다. 줄어든 넓이는 84-48=36㎡이며, 이는 줄어든 폭 3m와 가로 12m를 곱한 36㎡와도 일치한다.
이처럼 같은 결과를 두 경로로 확인하면 단순히 공식을 떠올린 것인지, 조건을 제대로 해석한 것인지 구별할 수 있다. 학생에게는 ‘변화한 길이×변하지 않은 길이’로 계산한 값과 ‘기존 넓이-새 넓이’를 비교하게 했다. 둘이 다르면 숫자를 다시 계산하기 전에 어느 길이를 잘못 읽었는지부터 표시한다.
삼각형이 포함된 도형에서 높이를 임의로 고르지 않기
직사각형 옆에 삼각형이 붙은 모양에서는 밑변을 찾은 뒤 아무 길이나 높이로 사용하는 행동이 나타났다. 밑변이 6cm이고 그에 수직인 높이가 4cm인 삼각형의 넓이는 6×4÷2=12㎠이다. 비스듬한 변이 5cm라는 정보가 함께 있어도 그 변은 주어진 그림에서 높이라고 표시되지 않았다면 넓이 계산에 바로 사용할 수 없다.
수정할 때는 삼각형 식을 쓰기 전에 ‘밑변과 직각으로 만나는 길이’에 표시하게 했다. 직사각형 8×4의 넓이 32㎠에 삼각형 12㎠를 더하는 문제라면 전체 넓이는 44㎠가 된다. 반대로 삼각형이 직사각형 안에서 잘려 나간 부분이라면 32-12=20㎠로 계산해야 한다. 더하는지 빼는지는 그림의 위치와 “포함된 부분” 또는 “잘라낸 부분”이라는 문장을 근거로 결정한다.
서대문구 생활 리듬에 맞춘 풀이 기록
서대문구에는 가재울중학교, 동명여자중학교, 명지중학교, 서연중학교, 신연중학교, 연북중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 남가좌·창천동·현저동·홍은동·홍제동 전체의 동일한 통학권으로 볼 수는 없다. 서대문독립공원이나 명물거리 인근, DMC래미안e-편한세상3단지 주변처럼 생활 위치가 다르면 귀가 뒤 문제를 풀 수 있는 시간도 달라질 수 있다. 그래서 수업에서는 진도량보다 한 문항의 풀이 근거와 검산을 끝까지 남길 수 있는 생활 리듬을 먼저 맞춘다.
시간이 짧은 날에는 도형 한 문제를 골라 조건에 밑줄을 긋고, 길이와 넓이의 단위를 나누어 적은 뒤 두 번째 방법으로만 검산한다. 시간이 확보되는 날에는 같은 도형을 숫자만 바꾸어 다시 풀게 한다. 풀이를 많이 쌓기보다 잘못된 첫 행동을 줄이는 방식이다.
숫자가 바뀐 문제에서 첫 행동을 다시 꺼내는지 확인하기
다음 확인 문제에서는 직사각형의 가로 9cm, 세로 6cm에서 가로를 3cm 줄이고, 한쪽에 밑변 4cm와 높이 3cm인 삼각형을 덧붙인 도형을 제시했다. 학생은 먼저 새 직사각형 넓이를 6×(9-3)=36㎠로 계산하고, 삼각형 넓이를 4×3÷2=6㎠로 구해 전체 42㎠라고 답했다. 이어 기존 직사각형 넓이 54㎠에서 줄어든 부분 3×6=18㎠를 빼도 36㎠가 되는지 확인했다.
이번에는 숫자와 도형의 위치가 달라졌지만 학생이 바로 답을 기억해 쓰지 않고, 새 길이와 수직 높이를 먼저 표시했다. 두 넓이 계산의 단위도 ㎠로 통일했다. 넓이와 길이 문제에서 확인할 기준은 정답 숫자 하나가 아니라, 조건에 맞는 길이를 골라 식을 세우고 다른 방식으로 결과를 검산하는지에 있다.