홍은동중3수학과외, 넓이와 길이 문제에서 답보다 관계를 읽는 연습
“가로가 6cm, 세로가 4cm인 직사각형의 넓이는 24㎠입니다.” 여기까지는 맞혔지만, 가로를 2배로 늘렸을 때 넓이가 어떻게 되는지 묻자 학생은 48㎠가 아니라 36㎠를 적었다. 계산 실수처럼 보이지만 실제로는 길이와 넓이가 변하는 관계를 숫자 하나의 변화로만 처리한 장면이다. 홍은동중3수학과외에서는 넓이·길이 문제를 풀 때 정답을 먼저 확인하기보다 그림, 단위, 변한 조건을 함께 기록하게 한다.
가로만 바뀌었는데 왜 두 변을 모두 바꾸었을까
처음 문제에서 직사각형의 가로가 6m, 세로가 4m라면 넓이는 다음과 같다.
6×4=24(㎡)
가로만 2배가 되어 12m가 되었다면 세로는 그대로 4m이므로 새 넓이는 12×4=48㎡이다. 학생이 6×2와 4×2를 모두 계산해 48이 아니라 96㎡를 얻었다면, ‘도형 전체가 2배 확대되었다’는 조건과 ‘한 변만 2배가 되었다’는 조건을 구별하지 않은 것이다. 반대로 가로와 세로를 모두 2배로 늘린다면 넓이는 2×2=4배가 되어 96㎡가 된다.
수업에서는 학생에게 숫자를 바로 계산하지 않고 먼저 그림 옆에 ‘가로만 변화’, ‘두 변 모두 변화’라고 쓰게 한다. 원래 직사각형에 가로 방향 화살표만 표시하고, 바뀐 값을 식에 옮긴 뒤 세로 4m는 그대로 남겨 두는 방식이다. 이렇게 하면 같은 숫자가 반복되어도 무엇이 변했는지 확인할 수 있다.
넓이를 보고 길이를 구할 때 식의 순서를 바꾸기
넓이와 한 변의 길이가 주어진 문제에서는 곱셈을 거꾸로 읽어야 한다. 넓이가 54㎠이고 세로가 6cm인 직사각형의 가로를 구한다면, 학생이 54×6을 적는 경우가 있다. 넓이=가로×세로이므로 가로는 54÷6=9cm이다.
이때 단순히 ‘나눗셈을 사용한다’고 외우게 하지 않는다. 학생이 먼저 빈칸식 □×6=54 를 만들고, 6을 곱해 54가 되는 수를 찾게 한다. 구한 9를 다시 9×6에 대입하여 54가 되는지 확인한다. 답안에는 ‘가로=넓이÷세로’라고 한 줄을 남기도록 하여 계산 결과와 사용한 관계를 분리하지 않게 한다.
넓이를 구할 때는 두 길이를 곱하고, 한 길이를 구할 때는 넓이를 알고 있는 길이로 나눈다.
단위가 바뀌면 숫자만 옮기지 않기
길이 문제에서 자주 멈추는 장면은 단위가 섞일 때 나타난다. 가로 2m, 세로 80cm인 직사각형의 넓이를 구하면서 2×80=160이라고 쓰면 숫자 계산은 맞아도 단위가 통일되지 않았다. 2m를 200cm로 바꾸면 넓이는 200×80=16,000㎠이다. 또는 세로를 0.8m로 바꾸어 2×0.8=1.6㎡라고 계산할 수 있다.
학생에게 두 방법을 모두 요구하지는 않는다. 문제에 제시된 단위를 하나 선택하고, 계산 전에 변환한 수에 동그라미를 치게 한다. 16,000㎠와 1.6㎡가 같은 넓이인지 확인하려면 1㎡=10,000㎠이므로 1.6㎡=16,000㎠이다. 단위를 답 뒤에 붙이는 것만으로 끝내지 않고, 길이 단위가 바뀌면 넓이 단위의 변환도 달라진다는 점을 식으로 확인한다.
그림의 모양이 달라도 먼저 전체 넓이의 구조 찾기
학교 프린트에서는 직사각형 한 개 대신 ㄱ자 모양이나 일부가 잘린 도형으로 제시되기도 한다. 학생이 그림에 보이는 변을 순서대로 곱하다가 막히면, 새로운 공식을 추가하기보다 도형을 직사각형으로 나누어 표시하게 한다. 예를 들어 전체가 가로 10cm, 세로 7cm인 직사각형에서 오른쪽 아래 가로 4cm, 세로 3cm 부분이 잘려 있다면 전체 넓이 70㎠에서 잘린 부분 12㎠를 빼어 58㎠를 얻는다.
이때 잘린 부분의 가로와 세로를 그림에서 직접 찾아 표시해야 한다. 학생이 10×7-4×7처럼 세로 길이를 임의로 바꾸었다면, 빼는 직사각형의 실제 두 변이 무엇인지 다시 선으로 연결한다. 계산 뒤에는 남은 도형을 두 직사각형으로 나누어 같은 결과가 나오는지 확인한다. 한 가지 풀이를 외우는 대신, 분할과 큰 도형에서 빼기의 관계를 비교하는 과정이다.
홍은동에는 명지중학교, 정원여자중학교, 홍은중학교가 있고, 같은 서대문구의 가재울중학교와 동명여자중학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 출제 내용을 단정하기보다 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 살피면서, 그날 틀린 넓이 문제에서 ‘무엇이 변했는지’와 ‘어떤 단위를 썼는지’를 짧게 기록하는 편이 실제 학습 점검에 도움이 된다.
숫자와 그림을 바꾼 뒤에도 첫 행동이 남는가
다음 확인 문제에서는 원래 직사각형의 가로 8cm, 세로 5cm를 가로 3배, 세로 2배로 바꾸었다. 학생은 처음에 8×5=40㎠를 적은 뒤, 새 넓이를 40×3×2=240㎠라고 계산했다. 숫자를 기억해서가 아니라 가로와 세로의 변화 비율을 각각 적용했기 때문에 가능한 풀이이다. 이어 가로 24cm, 세로 10cm를 직접 곱해 240㎠인지 검산했다.
마지막에는 그림을 돌려 놓고 넓이 72㎡, 한 변 8m인 직사각형의 다른 변을 묻게 했다. 학생이 72÷8=9m를 적고 8×9=72㎡로 되돌아갔다면, 문제의 표현과 배치가 달라져도 넓이와 길이의 관계를 다시 꺼낸 것이다. 새 문제에서 정답보다 먼저 단위를 통일하고, 변한 길이를 표시하고, 곱셈으로 역검산하는 순서가 스스로 나타나는지를 학습 기준으로 삼는다.