상록구중1수학과외, 공식보다 먼저 구할 각을 표시하는 도형 서술형 훈련
“내각의 합은 180×(n-2)이니까 540°입니다.”
한 중1 학생의 답안에는 계산 결과가 맞게 적혀 있었지만, 문제에서 구하라고 한 각이 삼각형의 한 내각인지, 오각형 전체의 내각의 합인지 표시되어 있지 않았다. 교과서 연계 문제의 정답률은 높아도 서술형에서 구할 대상을 빠뜨리면 숫자만 맞고 풀이의 근거가 사라진다. 상록구중1수학과외에서는 도형 공식을 먼저 쓰는 습관보다 그림에서 조건과 목표를 연결하는 순서를 중심으로 연습할 수 있다.
그림을 보고도 다른 각을 구하는 이유
시간 제한이 있는 계산 세트에서 학생은 내각·외각 공식을 기억하고 있었다. 그러나 오각형 그림의 한 꼭짓점에 표시된 외각을 구하는 문제에서 오각형 전체 내각의 합인 540°를 먼저 계산했다. 실제 목표는 한 외각의 크기였으므로, 주어진 내각이 120°라면 외각은 180°-120°=60°로 구해야 한다.
이때 학생은 “공식은 알고 있었는데 실수했다”고 정리했다. 하지만 단순 계산 실수가 아니라 구해야 할 대상을 확인하지 않고 기억한 공식을 바로 적용한 것이다. 그림의 숫자와 기호를 읽는 단계가 생략되면서 내각의 합, 한 내각, 외각이 서로 바뀌었다.
공식 앞에 놓는 세 가지 표시
문제를 읽으면 먼저 연필로 다음 세 가지를 표시한다.
- 구해야 하는 각에 작은 동그라미를 그린다.
- 주어진 각과 변의 조건에 밑줄을 긋는다.
- 두 조건이 어떤 선이나 각을 통해 연결되는지 화살표로 표시한다.
예를 들어 정오각형의 한 외각을 구하는 문제라면 목표는 ‘외각 한 개’라고 적고, 정오각형이라는 조건에서 외각의 합이 360°임을 연결한다. 따라서 한 외각은 360°÷5=72°이다. 반대로 한 내각을 구하는 문제라면 내각의 합 540°를 5로 나누어 108°을 얻는다. 두 결과가 모두 정오각형에서 나올 수 있지만, 목표가 다르므로 처음 표시가 달라져야 한다.
그림에 대각선이나 연장선이 있다면 선의 역할도 적는다. 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형 세 개로 나뉘는 오각형이라면 내각의 합을 180°×3으로 설명할 수 있다. 이때 단순히 540°라고만 쓰지 않고, ‘오각형은 삼각형 3개로 나뉨 → 180°×3=540°’처럼 중간 연결을 남긴다.
서술형 답안을 고치는 방식
답안에는 다음 순서를 고정해 적는다.
- 구할 대상을 문장으로 쓴다.
- 그 대상에 필요한 성질이나 공식을 적는다.
- 주어진 수를 대입하고 계산한다.
- 답의 단위와 대상이 문제와 일치하는지 확인한다.
가령 “정육각형의 한 내각의 크기를 구하여라”라는 문제라면 다음과 같이 쓸 수 있다.
정육각형의 내각의 합은 180°×(6-2)=720°이다. 정육각형은 여섯 내각의 크기가 같으므로 한 내각은 720°÷6=120°이다. 따라서 한 내각의 크기는 120°이다.
학생이 “720°”에서 멈추면 전체 내각의 합을 구한 것일 뿐 질문에 답하지 않은 것이다. 마지막 문장에 ‘한 내각’이라는 대상을 다시 적게 하면 계산 결과와 답의 범위를 구분하는 데 도움이 된다. 각의 단위인 °를 빠뜨렸는지도 서술형 체크칸에서 확인한다.
작도 순서를 외우는 데서 조건을 설명하는 단계로
작도에서도 같은 문제가 나타난다. 학생은 선분을 그리고 컴퍼스로 길이를 옮기는 순서는 따라 하지만, 그 과정이 어떤 조건을 만드는지 설명하지 못한다. 예를 들어 주어진 두 변과 그 사이의 각으로 삼각형을 작도할 때는 한 변을 기준으로 그리고, 주어진 각을 만든 뒤, 다른 변의 길이를 컴퍼스로 표시하여 교점을 찾는다.
이때 “컴퍼스로 그린 원호의 반지름은 주어진 변의 길이이고, 두 선의 교점이 세 번째 꼭짓점이다”라고 말할 수 있어야 한다. 작도 결과만 맞는지 보지 않고, 표시한 각과 변이 문제의 조건과 일치하는지 확인한다. 도형을 회전해 제시해도 같은 조건을 찾아야 하므로, 그림의 방향을 외우는 방식은 충분하지 않다.
다음 날 숫자와 조건을 바꿔 확인하기
연습 당일 같은 문제를 다시 맞힌 것만으로는 독립 적용을 확인하기 어렵다. 하루 뒤에는 정오각형의 한 내각 108°를 묻던 문제를 정육각형의 한 외각을 묻는 문제로 바꾼다. 숫자뿐 아니라 목표와 공식이 달라진다.
학생은 먼저 외각의 위치에 동그라미를 그리고, 외각의 합 360°를 정육각형의 변의 수 6으로 나누어 60°를 구해야 한다. 이어 “한 내각과 그 외각은 한 직선 위에서 이루어지므로 180°-60°=120°”라고 연결할 수도 있다. 이때 불필요한 숫자가 추가되어도 목표 각을 먼저 표시하는지, 도형을 회전해도 같은 관계를 찾는지 확인한다.
일주일 뒤에는 서술형 조건을 하나 더 넣어 “정육각형의 한 내각과 이웃한 외각의 크기를 각각 구하고 관계를 설명하라”고 제시한다. 구한 각, 사용한 성질, 단위, 결론 문장이 모두 있는지 점검한다. 공식보다 그림의 대상을 먼저 확인하고, 현행 시험범위에서 이 과정을 도움 없이 수행한 뒤에만 선행 도형 자료로 넘어가는 것이 적절하다.
상록구에는 경수중학교, 광덕중학교, 반월중학교, 본오중학교, 상록중학교, 석호중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 학생의 학교와 생활권을 동일하게 단정할 수는 없다. 부곡동·본오동·성포동·월피동 등에서 방과 후 이동 시간이 달라질 수 있으므로, 실제 학습에서는 통학 후 확보되는 짧은 시간에 도형 한 문제를 ‘목표 표시-조건 연결-서술형 검산’까지 완성하는 방식으로 적용한다.