월피동고2수학과외, 수학적 귀납법에서 k+1의 목표를 먼저 세우는 연습
수학적 귀납법에서 계산은 맞는데 증명이 완성되지 않는 경우가 있다. 월피동에서 광덕고등학교로 통학하며 과제와 지필평가를 함께 준비할 때도, 풀이 시간이 부족해지면 학생은 k+1단계의 목표를 적지 않고 곧바로 좌변 계산부터 시작하기 쉽다. 이때 빠진 줄은 계산 실수가 아니라 증명의 연결고리다.
“좌변부터 계산”하면 사라지는 k+1의 목표
다음 명제를 증명한다고 하자.
1+3+5+⋯+(2n−1)=n²
학생의 답안에는 다음과 같은 흐름이 나타났다.
1+3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)=k²+2k+1
계산 자체는 맞다. 귀납가정인 1+3+⋯+(2k−1)=k²을 사용하면 좌변은
k²+(2k+1)=(k+1)²
이 된다. 그러나 이 답안에서는 “k+1일 때 증명해야 하는 식”이 먼저 제시되지 않았다. 따라서 마지막에 나온 (k+1)²이 왜 필요한 결론인지 연결이 드러나지 않는다.
새 항과 목표식을 한 줄에 대응시키기
k+1단계에서는 다음 두 가지를 먼저 적어야 한다.
① 목표식: 1+3+⋯+(2k−1)+(2k+1)=(k+1)²
② 귀납가정: 1+3+⋯+(2k−1)=k²
그 다음 계산한다.
1+3+⋯+(2k−1)+(2k+1)
=k²+(2k+1)
=k²+2k+1
=(k+1)²
여기서 2k+1은 k번째 합에 새로 붙는 항이다. 이 항을 확인하지 않고 좌변만 전개하면, 귀납가정을 어디에 적용했는지와 k+1의 목표를 달성했는지가 흐려진다. 답안에서는 계산을 시작하기 전에 목표식과 귀납가정을 네모로 표시하고, 새 항이 목표식에 맞는지 확인한다.
항 번호를 바꿔도 목표를 먼저 세우는지 확인하기
같은 원리를 다음 명제로 점검한다.
2+4+6+⋯+2n=n(n+1)
k까지 성립한다고 가정하면
2+4+⋯+2k=k(k+1)
k+1의 목표는
2+4+⋯+2k+2(k+1)=(k+1)(k+2)
이다. 이제 귀납가정을 적용하면
k(k+1)+2(k+1)
=(k+1)(k+2)
가 된다. 이 문제에서 확인할 것은 정답만이 아니다. 학생이 계산 전에 새 항 2(k+1)과 목표식 (k+1)(k+2)을 스스로 적었는지, 그리고 마지막 식이 목표식의 우변과 정확히 일치하는지까지 살펴야 한다.
이처럼 월피주공3단지나 월피한양아파트 생활권에서 통학 후 제한된 시간에 문제를 풀더라도, 귀납법에서는 첫 계산보다 먼저 k+1의 목표를 적는 습관이 증명의 누락을 막는다.