정자동중3수학과외, 복합 원 도형에서 변형 문제까지 읽어내는 법
“점 A와 B가 같은 호를 보니까 ∠ACB와 ∠ADB는 같아요.” 학생이 이렇게 말한 뒤 곧바로 답을 적었지만, 그림에는 두 원이 겹쳐 있고 한 각은 원의 안쪽, 다른 각은 바깥쪽에 놓여 있었다. 같은 호를 본다는 말만으로는 충분하지 않았다. 두 각의 꼭짓점 위치와 실제로 연결된 호를 확인해야 했다.
복합 원 도형은 원 하나의 성질을 외우는 문제보다, 여러 원과 선분 사이에서 어떤 조건이 같은 원에 속하는지 찾아내는 문제가 많다. 특히 중3 학생은 그림이 회전되거나 점의 이름이 바뀌면 이전에 풀었던 모양을 떠올리지 못하고, 보이는 각을 무작정 더하거나 뺀다. 정자동중3수학과외에서는 답을 먼저 찾기보다 학생이 그림에서 처음 표시하는 위치를 관찰한다.
같은 호를 확인하지 않고 원주각을 같다고 한 장면
예를 들어 한 원 위에 A, B, C, D가 있고 C와 D가 같은 쪽에 놓여 있다면, ∠ACB와 ∠ADB는 모두 현 AB가 만드는 원주각이므로 크기가 같다. 하지만 학생이 “두 각이 원 안에 있으니까 같다”고 설명하면 근거가 정확하지 않다. 같은 원주 위의 각인지, 두 각이 공통으로 바라보는 현 또는 호가 AB인지 말할 수 있어야 한다.
학생의 첫 풀이가 다음과 같다고 하자.
∠ACB = 42°, ∠ADB = 180° - 42° = 138°
이 계산은 두 각이 현 AB의 서로 반대쪽에 놓인 경우에만 가능하다. 같은 쪽에서 같은 호 AB를 바라보는 상황이라면 ∠ADB도 42°이다. 반대로 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있고 C와 D가 원의 서로 다른 쪽에 있어 ∠ACB와 ∠ADB가 대각선처럼 마주 보는 경우에는 두 각의 합이 180°가 된다. 그림의 배치를 먼저 확인하지 않고 공식처럼 180°에서 빼면, 숫자는 그럴듯해도 조건과 맞지 않는 답이 나온다.
각의 크기보다 꼭짓점과 호를 먼저 표시하기
풀이를 고칠 때 학생에게 모든 성질을 한꺼번에 외우게 하지 않는다. 문제를 읽으면 먼저 각의 꼭짓점에 작은 점을 찍고, 각의 두 변이 만나는 원 위의 점을 연결한다. ∠ACB라면 C에서 A와 B로 선을 따라가며 현 AB를 표시한다. ∠ADB도 같은 방식으로 A와 B를 연결한다. 두 각이 같은 현 AB를 바라보는지 확인한 뒤, 꼭짓점 C와 D가 같은 쪽에 있는지 살핀다.
이 과정에서 중1·중2 때 배운 삼각형의 내각 합이 필요한 경우도 있지만, 현재 문제를 푸는 데 필요한 만큼만 사용한다. 예를 들어 한 각이 원주각이 아니라 두 현이 원 안에서 만나는 각이라면 원주각 성질을 바로 적용할 수 없다. 교점 P가 원 내부에 있고 현 AC와 BD가 만날 때는 ∠APB가 단순히 호 AB의 절반이 아니다. 이때는 마주 보는 각의 크기와 두 호의 관계를 구분해야 하므로, 학생이 각의 꼭짓점을 원주 위에 놓았는지 먼저 확인한다.
두 원이 겹친 그림에서 필요한 선만 남기기
복합 도형에서는 원이 두 개 이상 그려져 있어 학생의 시선이 전체 선을 한 번에 처리하려 한다. 정자동중3수학과외 수업에서는 문제의 구하는 각과 직접 연결된 원 하나를 먼저 색칠하고, 나머지 원은 잠시 가린다. 예를 들어 원 O₁ 위의 A, B, C와 원 O₂ 위의 B, C, D가 주어졌다면, ∠BAC를 구하는 순간에는 O₁에서 현 BC가 만드는 원주각이라는 사실을 먼저 사용한다. O₂의 정보는 ∠BDC와 연결될 때 다시 꺼낸다.
학생이 자주 하는 오류는 두 원의 중심을 모두 연결한 뒤 그 선분을 반드시 지름으로 여기는 것이다. 중심 O와 원 위의 점 A를 연결한 반지름은 만들 수 있지만, A와 B를 잇는 선분이 중심을 지난다는 조건이 없으면 지름이라고 할 수 없다. 지름이 확인될 때만 그 지름이 만드는 원주각이 90°라는 성질을 사용할 수 있다.
정답을 맞힌 뒤에도 설명과 역검산을 남긴다
∠ACB = 35°이고 C와 D가 현 AB의 같은 쪽에 있는 경우 ∠ADB = 35°라고 답했다면, 풀이 마지막에 “두 각은 같은 원에서 현 AB를 바라보는 원주각”이라고 적게 한다. 숫자만 맞힌 답은 그림이 바뀌었을 때 유지되기 어렵다. 반대로 C와 D가 서로 다른 쪽에 있다면 두 각의 합이 180°이므로 ∠ADB = 145°이다. 같은 35°라는 숫자를 기억하는 것이 아니라, 배치에 따라 관계가 달라지는 이유를 확인해야 한다.
역검산도 그림에 맞게 한다. 같은 쪽 배치에서 두 각을 각각 35°로 표시하고, 서로 다른 쪽 배치에서는 35°와 145°를 표시한다. 두 경우 모두 원주각과 호의 위치가 일치하는지 확인하면, 학생은 “원주각은 무조건 같다”가 아니라 “같은 호를 보는 위치에 따라 같다 또는 보각 관계가 된다”고 수정해 말할 수 있다.
정자동의 생활 리듬에 맞춘 짧은 변형 훈련
정자동에는 늘푸른중학교, 백현중학교, 분당중학교, 정자중학교가 있으며, 같은 분당구의 구미중학교는 참고 학교로 구분해 볼 수 있다. 정자뜰태영데시앙2단지나 동양고속성지아파트처럼 생활권 안에서도 학교까지의 이동 거리와 귀가 시간이 다르므로, 복합 원 도형을 한 번에 여러 문제 풀게 하기보다 학생의 실제 공부 가능 시간에 맞춰 한 문항의 구조를 바꾸어 확인하는 방식이 효율적이다.
첫날에는 현 AB를 보는 두 원주각을 찾고, 다음에는 숫자는 유지한 채 점 D를 원의 반대쪽으로 옮긴다. 그 뒤에는 ∠ADB를 구하는 대신 “두 각의 합”을 묻게 한다. 마지막에는 그림 없이 “A, B, C, D가 한 원 위에 있고 C와 D가 서로 다른 쪽에 있다”는 문장만 제시한다. 학생이 도움 없이 같은 쪽인지 다른 쪽인지 판단하고, 필요한 성질을 말한 뒤 계산하면 독립 적용이 확인된다.
이때 풀이 순서는 반드시 기록한다.
- 각의 꼭짓점이 원주 위에 있는지 확인한다.
- 각의 두 변이 연결하는 공통 현이나 호를 표시한다.
- 두 꼭짓점이 공통 현의 같은 쪽인지 반대쪽인지 판단한다.
- 같은 쪽이면 같은 원주각, 반대쪽이면 내접사각형의 마주 보는 각의 합 180° 관계를 검토한다.
- 계산 후 그림의 위치와 답의 크기가 맞는지 확인한다.
새 문제에서 숫자를 42°에서 58°로 바꾸거나 원을 돌려 그려도 학생이 먼저 AB를 표시하고, 꼭짓점의 위치를 판단한다면 정답을 외운 것이 아니다. 복합 원 도형에서 필요한 독립성은 복잡한 그림을 많이 보는 데서 생기지 않고, 매번 같은 수학적 근거를 정확한 위치에 다시 꺼내는 데서 확인된다.