“평균은 모두 더해서 자료의 개수로 나누면 되죠.” 이매동의 한 중3 학생은 이렇게 말한 뒤, 다음 자료의 평균을 계산했다.
자료가 5개일 때 평균이 12이고, 그중 네 자료가 8, 10, 13, 15라면 나머지 자료는 얼마일까?
학생은 먼저 8+10+13+15를 계산해 46을 얻었다. 이어서 46을 5로 나누고, 그 값을 평균이라고 적었다. 그러나 이 문제는 주어진 자료의 평균을 구하는 문제가 아니라, 평균 조건을 이용해 빠진 자료를 찾는 문제다. 계산 실수보다 먼저 바뀌어야 할 것은 ‘무엇을 구하라는 조건인지’ 읽는 행동이었다.
평균을 계산하는 문제와 평균 조건을 거꾸로 쓰는 문제
중3 통계에서 평균은 단순한 계산 결과가 아니다. 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 값이라는 정의와 함께, 평균에 자료의 개수를 곱하면 전체 자료의 합이 된다는 의미까지 사용해야 한다.
자료의 개수가 5개이고 평균이 12라면 전체 합은 다음과 같다.
12×5=60
이미 알려진 네 자료의 합은 46이므로 빠진 자료를 x라고 둘 때
46+x=60
따라서 x=14이다.
학생의 첫 풀이에서 46÷5를 한 것은 ‘네 자료의 평균’을 구하는 계산이다. 문제에서 제시한 전체 평균 12와 빠진 자료를 연결하지 못한 셈이다. 풀이를 시작하기 전, 학생은 문제의 조건에 ‘전체 평균’, ‘자료의 개수’, ‘구할 값’을 각각 표시했다. 그다음 평균을 바로 나누는 대신 평균×자료 개수로 전체 합을 먼저 만들었다.
정답보다 먼저 확인한 세 가지 수학적 의미
- 평균 12는 이미 정해진 전체 자료의 평균이다.
- 자료 5개의 합은 12×5로 구할 수 있다.
- 빠진 자료는 전체 합에서 알려진 자료의 합을 빼서 찾는다.
이 세 가지를 문장으로 말한 뒤 식을 쓰자, 학생은 같은 숫자를 보고도 이전과 다른 계산을 선택했다. 평균을 구할 때는 합÷개수이지만, 평균과 개수가 주어진 상태에서 합을 찾을 때는 평균×개수라는 방향 전환이 일어난 것이다.
자료 개수가 달라질 때 나눗셈을 고정하지 않기
다음에는 자료 6개의 평균이 15이고, 그중 다섯 자료가 11, 13, 14, 17, 19로 주어졌다. 학생은 이번에도 처음에 다섯 수를 더했다.
11+13+14+17+19=74
이전에는 5로 나누려 했지만, 이번에는 문제 옆에 ‘전체 6개’라고 표시한 뒤 평균과 개수를 곱했다.
15×6=90
따라서 빠진 자료는
90-74=16
이다. 여기서 74÷5=14.8은 주어진 다섯 자료만의 평균일 뿐, 구하려는 빠진 자료가 아니다. 학생이 계산 결과에 이름을 붙여 보는 것도 도움이 됐다. 74는 ‘알려진 자료의 합’, 90은 ‘전체 자료의 합’, 16은 ‘빠진 자료’라고 적었다. 숫자만 나열하지 않고 각각의 의미를 구분하자 계산 순서가 흔들리지 않았다.
평균이 바뀌면 전체 합도 함께 바뀐다
자료 7개의 평균이 18일 때 전체 합은 18×7=126이다. 이 중 여섯 자료의 합이 101이라면 빠진 자료는 25이다. 평균이 18이라는 조건을 18÷7로 처리하면 전체 합의 의미를 잃게 된다.
반대로 자료 하나가 추가되거나 삭제되면 평균을 구할 때 사용하는 자료의 개수도 변한다. 학생은 문제에서 ‘기존 자료’, ‘추가된 자료’, ‘전체 자료’를 서로 다른 표시로 구분했다. 예를 들어 다섯 자료의 평균이 12일 때 합은 60이다. 여기에 18을 추가하면 자료의 합은 78, 개수는 6이므로 새로운 평균은 78÷6=13이다. 기존 평균 12에 18을 더하는 방식으로는 평균을 구할 수 없다.
학생이 자주 하던 “기존 평균에 새 자료를 더하고 자료 개수로 나누기”라는 설명도 수정했다. 평균 자체가 아니라 평균에 자료 개수를 곱한 합을 먼저 다뤄야 하기 때문이다.
이매동 학습 일정에서 놓치기 쉬운 확인 지점
이매동에는 매송중학교, 송림중학교, 이매중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 구미중학교와 낙원중학교는 같은 분당구의 참고 학교다. 이 두 범주는 학교 위치를 설명할 때 구분해야 한다. 이매역과 이매촌금강아파트가 포함된 생활권에서 학생의 실제 학습 시간을 점검할 때는 학교 선택을 넓게 추측하기보다 귀가 시각 이후 과제와 시험 준비 순서를 살피는 편이 구체적이다.
평일 늦게 귀가한 날에는 새로운 통계 문제를 많이 풀게 하기보다, 그날 틀린 한 문제에서 ‘평균’, ‘자료 개수’, ‘자료의 합’을 표시하게 했다. 이후 식을 쓰기 전에 “지금 구하는 것은 평균인가, 전체 합인가, 빠진 자료인가?”를 한 문장으로 답하게 했다. 짧은 확인이지만 계산 방향을 결정하는 데 직접 연결됐다.
맞힌 답에도 평균의 의미를 덧붙이기
학생은 자료 4개의 평균이 20일 때 합이 80이라는 문제를 맞혔다. 하지만 “왜 20×4를 했는가?”라는 질문에는 “평균 문제라서요”라고 답했다. 정답만으로는 조건을 새 문제에 옮겼는지 확인하기 어려웠다.
그래서 답안 아래에 ‘평균×자료 개수=전체 자료의 합’이라고 쓰고, 계산한 합을 다시 자료 개수로 나누어 평균을 확인했다.
80÷4=20
이 역검산은 단순히 같은 계산을 반복하는 것이 아니다. 80이 실제로 네 자료의 전체 합인지, 평균 20이라는 조건을 만족하는지 확인하는 과정이다.
숫자와 구하는 대상이 바뀐 독립 검증
마지막에는 다음 문제를 도움 없이 제시했다.
어떤 자료 8개의 평균은 13이다. 그중 일곱 자료의 합이 91일 때 나머지 자료를 구하여라.
학생은 먼저 13×8=104를 계산하고, 104-91=13이라고 답했다. 이번에는 평균을 구하려고 나누지 않았고, 자료의 개수가 8개라는 조건도 놓치지 않았다. 이어 91+13=104, 104÷8=13으로 역검산했다.
이매동 중3 수학에서 통계의 평균을 점검할 때 보는 기준은 문제집 진도량이 아니다. 숫자와 문장 순서가 달라져도 평균의 의미를 전체 합으로 바꾸고, 구하는 대상에 맞는 식을 선택하는지 확인하는 것이다.