표본평균과 모집단 평균을 구분하는 통계 풀이
이매동에서 고3 수학과외를 진행하며 귀가 시각과 과제량을 함께 점검하던 학생은 통계 문제에서 모집단과 표본의 기호를 먼저 구분하지 않아 계산 결과를 잘못 해석하고 있었다. 특히 이매고등학교, 송림고등학교, 돌마고등학교 학생의 학습 시간을 조사한다고 해도 조사 대상 전체와 실제로 조사한 일부 학생은 서로 다를 수 있다.
같은 숫자로 확정할 수 없는 두 평균
어느 모집단의 학습 시간의 평균을 μ, 표준편차를 σ라고 하자. 이 중 64명을 표본으로 뽑아 표본평균이 x̄=72, 모집단 표준편차가 σ=8로 알려져 있다면, x̄=72는 표본에서 계산한 값이지 모집단 평균 μ가 아니다.
학생의 오답: μ=x̄=72이므로 모집단 평균은 72이다.
이 식은 틀렸다. 표본평균은 모집단 평균을 추정하는 통계량이며, 표본을 어떻게 뽑았는지에 따라 μ와 정확히 같지 않을 수 있다. 모집단 평균이 미지수인 상황에서 표본평균을 곧바로 μ로 확정한 것이 오류다.
신뢰구간으로 식을 다시 세우기
모집단 표준편차 σ를 알고 표본의 크기가 충분할 때 95% 신뢰구간은
μ의 추정 구간 = x̄ ± 1.96 × σ/√n
이므로 주어진 값을 대입하면
72 ± 1.96 × 8/√64 = 72 ± 1.96 × 1 = 72 ± 1.96
따라서 구간은 70.04≤μ≤73.96이다. 이는 μ가 반드시 이 구간 안에 있다는 뜻이 아니라, 같은 방법으로 표본을 반복 추출해 구간을 만들면 그중 약 95%가 μ를 포함한다는 의미다.
틀린 줄을 표시하고 역검산한 과정
- 틀린 줄 표시: μ=x̄=72
- 조건 확인: μ는 모집단의 고정된 평균이고, x̄는 크기 64인 표본에서 계산된 통계량이다.
- 식 수정: μ를 x̄ 하나로 확정하지 않고 μ의 추정값을 x̄=72로 둔다.
- 구간 계산: 72±1.96×8/√64=72±1.96
- 역검산: 구간의 중심은 (70.04+73.96)/2=72이고, 양 끝점까지의 거리는 각각 1.96이다.
학생은 이 과정을 풀이 노트에 반복해 적으며 모집단 평균, 표본평균, 표본크기, 신뢰계수를 각각 표시했다. 이매역 주변에서 수업을 마친 뒤에도 단순히 답만 외우지 않고, 귀가 전 오답 줄과 조건을 다시 대조하는 방식으로 풀이 순서를 고쳤다.
표본크기와 신뢰도를 바꾼 독립 검증
이번에는 표본 100명의 평균이 x̄=68, 모집단 표준편차가 σ=10이고 99% 신뢰구간을 구한다고 하자. 99%의 표준정규 계수는 약 2.576이므로
68 ± 2.576 × 10/√100 = 68 ± 2.576
따라서 신뢰구간은 65.424≤μ≤70.576이다. 학생은 중심값을 모집단 평균으로 확정하지 않고, 표본평균 68을 기준으로 신뢰수준과 표본크기에 따라 오차한계가 달라지는지 확인했다. 첫 문제와 달리 n과 신뢰도가 모두 바뀌었지만, 모집단 평균 μ와 표본평균 x̄를 구분하는 기준은 그대로 재현되었다.