야탑동중2수학과외, 표와 식을 바꾸며 조건 있는 경우의 수를 읽는 연습
조건이 붙은 경우의 수 문제는 숫자를 빠르게 곱하는 문제가 아니다. 어떤 대상을 먼저 고르고, 그다음 선택에서 무엇이 제한되는지 확인해야 한다. 야탑동 중2 학생 가운데는 표에 적힌 조건을 식으로 옮긴 뒤 다시 표나 그림으로 검토하는 과정에서 멈추는 경우가 있다. 한 표현에서는 이해한 것처럼 보여도 다른 표현으로 바꾸면 같은 관계를 유지하지 못하는 것이다.
이 단원에서는 표→식→그래프 또는 그래프→식→표처럼 주어진 관계를 다른 방식으로 재구성하는 훈련이 필요하다. 다만 경우의 수에서는 좌석 배치표, 선택 목록, 수형도처럼 각 경우를 빠짐없이 나타내는 도구를 중심으로 사용한다. 표에 있는 조건을 임의로 지우거나, 이미 센 경우를 다시 세지 않는지가 핵심이다.
처음 막히는 장면은 곱셈보다 조건 표시에서 시작된다
예를 들어 모자 3개와 티셔츠 2개 중 하나씩 고르되, 빨간 티셔츠를 고른 경우에는 검은 모자를 고를 수 없다고 하자. 학생은 전체 경우를 3×2=6으로 계산한 뒤 제한 조건을 나중에 빼려 한다. 그러나 빨간 티셔츠와 검은 모자의 조합이 실제 목록에서 어떻게 제외되는지 표시하지 않아 답이 5인지 4인지 흔들린다.
또 다른 학생은 모자를 먼저 고르는 표를 만들었다가 티셔츠를 먼저 고르는 식으로 바꾸라는 요구를 받으면 같은 경우를 두 번 포함한다. “검은 모자-빨간 티셔츠”를 한 번 제외했는데, 순서를 바꾼 표에서 다시 제외하는 식이다. 반대로 조건에 해당하는 항목을 빠뜨리고 6이라는 전체 개수만 적는 경우도 있다.
표의 칸 하나가 실제 선택 한 가지인지, 이미 앞 단계에서 세어 둔 선택인지 먼저 확인한다. 식은 표를 대신하는 압축 표현이지, 조건을 생략하는 지름길이 아니다.
야탑동 학생에게 필요한 것은 ‘다시 처음부터’가 아니다
친구의 선행 속도를 의식한 학생은 한 문제를 오래 붙잡다가 뒤쪽의 쉬운 문항까지 급하게 처리한다. 중1 공백이 보이면 현재 경우의 수에 필요한 곱셈이나 표 읽기만 짧게 확인하면 되는데, 이전 단원을 처음부터 다시 펼친다. 이때 학습 시간이 늘어도 조건을 분리하는 행동은 만들어지지 않는다.
시험 직전에는 새 교재보다 기존 오답을 압축해야 한다. 야탑중학교와 하탑중학교처럼 야탑동 지역에서 통학하는 학생은 학교 수업, 수행평가, 이동 시간을 함께 조정해야 하므로 한 문제의 체류시간을 정하지 않으면 뒤 문항을 볼 시간이 사라질 수 있다. 같은 분당구의 구미중학교, 낙원중학교, 내정중학교는 참고 학교일 뿐 야탑동 소재 학교로 단정하지 않으며, 학교별 출제 경향도 추측하지 않는다.
표를 식으로 바꾸기 전, 경우를 이름 붙인다
첫 단계에서는 선택 대상을 A, B처럼 이름 붙이고 조건을 문장 그대로 표시한다. 모자 3개를 검정·파랑·흰색, 티셔츠 2개를 빨강·노랑으로 적은 뒤 금지되는 한 쌍에 X를 표시한다. 그러면 전체 6칸 가운데 한 칸만 제외되어 가능한 경우가 5개임을 확인할 수 있다.
그다음 “모자를 먼저 고르는 경우”와 “티셔츠를 먼저 고르는 경우”를 따로 적는다. 검정 모자는 티셔츠 2개와 연결되고, 파랑과 흰색도 각각 2개와 연결된다. 반면 빨간 티셔츠에서 검정 모자로 가는 연결만 막힌다. 따라서 2+2+1=5 또는 3+2=5처럼 같은 결과가 나와야 한다. 어느 식을 선택하더라도 각 항이 표의 어느 부분을 뜻하는지 말하게 한다.
- 조건에 해당하는 선택을 먼저 동그라미 또는 X로 표시한다.
- 첫 번째 선택을 고정한 뒤 가능한 두 번째 선택의 수를 줄 세운다.
- 식의 각 숫자 옆에 ‘어떤 대상의 개수인지’ 짧게 적는다.
- 표를 다시 순서를 바꿔 만들고, 같은 조합이 두 번 들어갔는지 확인한다.
- 한 문제에 머무를 시간을 정해 쉬움·보류·재확인 표시를 남긴다.
사례: 답을 맞힌 뒤에도 표현을 바꾸어 확인한다
한 학생은 위 문제에서 5를 답으로 적었지만 풀이에는 3×2-1만 남겼다. 왜 1을 빼는지 설명하지 못해 조건이 바뀌면 다시 흔들렸다. 훈련에서는 먼저 여섯 칸 표를 완성하고 금지된 한 칸을 표시했다. 이후 티셔츠별로 가능한 모자를 세어 2+3이라는 식을 만들고, 두 식의 결과가 같다는 것을 확인했다.
다음에는 “빨간 티셔츠를 고르면 검은 모자와 파란 모자를 모두 고를 수 없다”로 조건을 바꾸었다. 학생은 6-2=4라고 계산한 뒤, 표에서 실제로 두 칸이 제외되었는지 확인했다. 이처럼 숫자만 바꾸는 것이 아니라 조건의 위치와 선택 순서를 바꾸어야 독립 적용이 된다.
시험지에서 사용할 보류 기준
문제의 조건을 읽고도 30초 안에 첫 표나 수형도의 출발점을 정하지 못하면 문제 번호 옆에 작은 점을 찍고 넘어간다. 이미 식을 세웠지만 각 숫자의 의미를 설명하지 못하면 보류로 분류한다. 반대로 조건 표시와 첫 단계의 경우 목록이 끝났다면 계산이 조금 남아도 우선 진행한다.
뒤 문제를 푼 뒤 돌아왔을 때는 답지만 바로 보지 않는다. 조건에 해당하는 항목을 다시 표시하고, 다른 순서의 표를 한 줄로 만들어 결과를 비교한다. 남은 시간이 있으면 “이 경우를 왜 포함했는가”, “이 경우는 왜 제외했는가”를 짧게 적는다. 수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾸어도 같은 보류 기준과 검산 순서를 지키는지 확인한다.
독립 검증은 숫자와 조건을 함께 바꾼다
마지막 확인 문제에서는 모자 4개와 티셔츠 3개로 수를 늘리고, 금지 조건을 두 개로 바꾼다. 학생은 단순히 이전 답 5를 기억하는 것이 아니라 전체 표를 다시 구성해야 한다. 또 선택 순서를 티셔츠→모자로 바꾸고, 같은 조합이 중복되지 않는지 확인한다.
검증 기준은 세 가지다. 첫째, 조건에 맞지 않는 선택을 목록에서 분명히 제외하는가. 둘째, 식의 각 항을 표나 수형도의 가지와 연결해 설명하는가. 셋째, 제한 시간 안에 보류 문제를 남겨 두었다가 마지막에 돌아와 검산하는가. 이 세 장면이 확인되면 같은 문제를 외운 것이 아니라 조건 있는 경우의 수를 재구성한 것으로 볼 수 있다.
FAQ
경우의 수에서 그래프를 꼭 그려야 하나요?
복잡한 그림이 필수는 아니다. 선택 관계를 점과 연결선으로 나타내면 조건이 어디에서 끊기는지 보이므로, 표와 식을 검토하는 보조 도구로 사용한다.
중1 내용이 비어 있으면 전 범위를 다시 해야 하나요?
아니다. 현재 문제에 필요한 곱셈, 표 읽기, 항목 구분만 짧게 확인한 뒤 곧바로 조건 있는 경우의 수 문제로 돌아온다.
한 문제를 끝까지 붙잡는 것이 더 좋은가요?
조건 표시와 출발점이 정해지지 않으면 보류 표시를 남기고 이동한다. 뒤 문항을 확보한 뒤 돌아와 표와 식을 다시 맞추는 편이 시험시간 관리에 유리하다.