서현동중2수학과외, 내심은 각의 이등분선·외심은 수직이등분선으로 작도하기
서현동에서 중2 도형 수행평가를 준비할 때 학생이 자주 놓치는 부분은 정의를 외우는 것과 실제 작도를 수행하는 것이 다르다는 점이다. 특히 지필 문제를 며칠 중단하고 수행평가 자료만 정리하면, 내심과 외심의 작도 조건을 서로 바꾸거나 필요한 선을 빠뜨리는 일이 생긴다. 이 단원은 그림을 보고 감으로 점을 찾는 것이 아니라, 어떤 선을 그어야 하는지 근거를 남기는 연습이 중요하다.
그림 속 점을 보고 바로 표시하는 습관
학생은 삼각형 ABC가 주어졌을 때 가운데쯤에 점을 찍고 이를 내심 또는 외심이라고 적는다. 선생님이 “왜 그 점인가?”라고 물으면 “삼각형 안쪽에 있어서요”라고 답하지만, 내심과 외심은 위치만으로 결정되지 않는다.
- 내심: 세 내각의 이등분선이 만나는 점
- 외심: 세 변의 수직이등분선이 만나는 점
- 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이는 모두 같다.
- 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같다.
따라서 내심을 찾을 때 변의 수직이등분선을 그으면 안 되고, 외심을 찾을 때 각의 이등분선을 그으면 안 된다. 정삼각형처럼 두 점이 같은 위치에 놓이는 경우가 있어도 두 점의 작도 근거까지 같아지는 것은 아니다.
수행평가 설명문에서 드러나는 실제 막힘
예를 들어 삼각형 ABC의 내심을 작도하는 문제에서 학생은 각 A의 이등분선을 그은 뒤 각 B로 이동하지 않고, 눈대중으로 교점 근처에 점을 표시한다. 반대로 외심 문제에서는 AB의 수직이등분선을 그리면서 선분 AB와 직각이라는 표시를 하지 않은 채, 다른 변의 중점을 대략 이어 점을 정한다.
설명문에는 “두 선이 만나는 점이 내심이다”라고만 쓰고 어떤 두 선인지 적지 않는다. 외심을 구한 뒤에도 “각 꼭짓점에서 같은 거리”라는 확인 없이 작도를 끝낸다. 이때의 오답은 계산 실수가 아니라 정의를 작도 절차로 바꾸지 못한 데서 생긴다. 수행평가 준비로 지필 재풀이를 며칠 끊으면, 이미 틀린 유형을 다시 풀었는지와 새 유형을 빠뜨렸는지를 확인하기 어려워진다.
작도선을 그리기 전에 기호부터 남긴다
내심 문제에서는 먼저 각 A와 각 B에 같은 호 표시를 하며 각각의 각을 이등분한다. 두 이등분선의 교점을 I로 표시하고, I에서 AB에 내린 수선의 발을 H라고 둔다. 이어서 IH를 반지름으로 삼아 내접원을 그릴 수 있는지 확인한다. 세 번째 각의 이등분선은 이미 찾은 I를 지나가는지 검토하는 선으로 활용한다.
외심 문제에서는 먼저 AB의 중점을 M으로 표시하고, M을 지나 AB에 수직인 직선을 긋는다. 같은 방식으로 BC의 중점과 수직인 직선을 그어 교점을 O로 둔다. 그다음 OA, OB, OC의 길이가 같은지 확인한다. 작도지에는 ‘직각’, ‘중점’, ‘같은 길이’ 표시를 직접 남겨 선의 역할이 섞이지 않게 한다.
내심은 각을 반으로 나누는 선, 외심은 변을 수직으로 반으로 나누는 선에서 출발한다.
중1 내용 전체를 다시 공부할 필요는 없다. 다만 각의 크기와 수직, 중점의 뜻이 작도 설명을 막는 경우에만 해당 개념을 짧게 확인한 뒤 곧바로 현재 도형 문제로 돌아온다. 학생이 “모르겠다”고 말하면 답을 알려 주기보다 ‘어느 각의 이등분선을 그렸는가’, ‘어느 선분의 중점을 표시했는가’처럼 막힌 행동을 한 단계로 좁혀 말하게 한다.
서현동 학생의 주간 학습에 맞춘 적용
서현중학교와 양영중학교가 서현동에 있고, 같은 분당구의 구미중학교·낙원중학교·내정중학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 시험 일정과 수행평가 방식은 같다고 단정할 수 없으므로, 지역 전체의 학군 성향보다 학생의 실제 주간 일정을 먼저 확인해야 한다. 수행평가가 있는 주에는 작도 설명문과 지필 오답을 모두 길게 다루기보다, 하루는 내심 작도, 다음 날은 외심 작도, 주말에는 두 개념을 섞은 문제로 나누는 편이 효율적이다.
같은 그림을 다시 그리지 않는 검증
첫 번째 확인은 삼각형의 모양을 바꾼다. 예각삼각형에서 내심을 구한 뒤, 둔각삼각형의 외심을 작도하게 한다. 외심이 삼각형 바깥에 놓일 수 있다는 점을 그림 위치만으로 판단하지 않는지 본다. 두 번째 확인에서는 “점 P가 세 변에서 같은 거리에 있다”는 조건을 주고 P가 내심인지 외심인지 설명하게 한다. 이 조건만으로는 내심이라고 단정할 수 없으므로, P가 세 내각의 이등분선 위에 있는지 또는 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는지를 구분해 써야 한다.
마지막으로 수행평가 형식을 바꾼다. 도형을 직접 작도하는 대신 “외심을 구하기 위해 AB와 AC에 어떤 직선을 그어야 하는가?”라는 서술형을 제시한다. 학생이 ‘각의 이등분선’이라고 잘못 쓰지 않고 ‘AB와 AC의 수직이등분선’이라고 답하는지, 중점과 수직 조건을 함께 설명하는지 확인한다. 제한 시간 안에 기호와 근거를 모두 남기는지도 독립 검증 항목으로 둔다.
서현동중2수학과외에서 확인하는 질문
- 내심과 외심은 각각 어떤 선들의 교점인가?
- 내심 작도에서 변의 수직이등분선을 사용하면 안 되는 이유는 무엇인가?
- 외심이 삼각형 밖에 놓일 수 있는 경우에도 작도 기준은 달라지는가?
- 완성한 그림에서 중점, 직각, 같은 길이 표시를 근거로 설명할 수 있는가?
내심과 외심은 그림의 중심을 찾는 문제가 아니라, 정의에 맞는 선을 정확히 작도하고 그 결과를 설명하는 문제다. 서현동중2수학과외에서는 학생이 맞힌 그림을 다시 베끼는 데 그치지 않고, 모양과 조건을 바꾼 새 도형에서도 각의 이등분선과 수직이등분선을 구별하는지 확인한다.