백현동중2수학과외, 수형도로 맞혔지만 근거가 약한 풀이를 고치는 방법
중2 경우의 수에서는 정답 숫자만 맞는 것보다 어떤 선택을 어떤 순서로 나누었는지가 중요하다. 특히 수형도를 그려야 하는 문제에서 익숙한 곱셈이나 덧셈부터 적으면, 조건이 바뀐 순간 같은 방식이 더 이상 맞지 않을 수 있다. 백현동중2수학과외에서는 수형도를 단순히 많이 그리게 하기보다, 문제를 읽고 첫 행동을 스스로 정하는 과정부터 확인한다.
숫자보다 먼저 확인할 세 가지
학생이 자주 놓치는 것은 문제에 나온 조건의 위치다. 예를 들어 세 개의 숫자 1, 2, 3 중 두 개를 골라 두 자리 수를 만드는 문제라면, 중복을 허용하는지 허용하지 않는지에 따라 수형도가 달라진다. 중복을 허용하지 않으면 십의 자리 1에서 일의 자리 2, 3으로 가지가 뻗고, 십의 자리 2와 3에서도 같은 방식으로 나뉜다. 이때 11, 22, 33은 포함되지 않는다.
반대로 ‘같은 숫자를 여러 번 사용할 수 있다’는 조건이 있으면 1에서 1로 가는 가지도 그려야 한다. 학생이 문제를 끝까지 읽지 않고 익숙한 수형도부터 그리면 이 조건을 빠뜨린다. 따라서 풀이 첫 줄에 다음 세 칸을 직접 적게 한다.
- 구할 것: 무엇의 개수 또는 확률을 구하는가
- 주어진 조건: 중복, 순서, 선택 제한이 있는가
- 첫 행동: 첫 번째 선택부터 나누는가, 전체를 먼저 세는가
백현동 생활권에서 고려하는 학습 차이
백현동에는 보평중학교와 신백현중학교가 있고, 같은 분당구의 참고 학교로 구미중학교·낙원중학교·내정중학교가 있다. 이 학교들을 하나의 출제 성향으로 단정하기보다, 학생의 학교 프린트와 시험 일정, 학원 및 과외 시간을 따로 확인하는 것이 적절하다. 백현마을1단지와 백현마을2단지, 단독택지 등 생활권에 따라 귀가 시간과 주간 학습 가능 시간이 달라질 수 있으므로 수형도 훈련도 하루 분량을 고정하기보다 실제 일정에 맞춘다.
실제 오답 장면: 수형도는 그렸지만 조건을 놓친 경우
다음과 같은 문제가 있다.
학생 3명 중 회장 1명과 부회장 1명을 뽑을 때, 회장과 부회장을 정하는 방법의 수를 구하여라.
학생을 가, 나, 다라고 하면 회장 가를 정했을 때 부회장은 나, 다 두 가지다. 회장 나와 다를 선택한 경우에도 각각 두 가지씩 가능하므로 전체는 2+2+2=6가지다. 그런데 한 학생을 고른 뒤 같은 학생을 다시 선택하는 가지를 그리는 학생이 있다. 이는 회장과 부회장을 같은 사람으로 정할 수 있다고 잘못 해석한 경우다.
또 다른 오답은 ‘3명 중 2명을 뽑는 것’이라고 생각해 3가지라고 쓰는 것이다. 회장과 부회장은 역할이 다르므로 가-나와 나-가는 서로 다른 경우다. 이 오류는 계산 실수가 아니라 순서와 역할을 읽지 못한 경우의 수 설정 오류다.
수형도를 그리는 손동작을 고정하지 않는다
처음에는 학생에게 문제의 숫자에 동그라미를 치게 하지 않고, 조건에 밑줄을 긋게 한다. ‘중복 없이’, ‘순서 있게’, ‘적어도’, ‘동시에’처럼 가지의 수를 바꾸는 표현을 표시한다. 그다음 수형도 옆에 각 단계의 의미를 짧게 적는다. 예를 들어 첫 단계에는 ‘회장 선택’, 두 번째 단계에는 ‘부회장 선택’이라고 쓴다.
각 가지의 끝에는 실제 결과를 한 번 적는다. 가-나, 가-다, 나-가처럼 결과를 나열하면 가-나와 나-가를 같은 것으로 처리하는 오류를 줄일 수 있다. 가지를 다 그린 뒤에는 다음 세 가지를 대조한다.
- 조건에 맞지 않는 결과를 지우었는가
- 같은 결과를 두 번 세지 않았는가
- 가능한 첫 선택이 모두 시작점에 들어갔는가
확률로 이어지는 문제라면 분모를 먼저 정하지 않는다. 전체 경우를 수형도로 세고, 그중 조건에 맞는 경우를 표시한 뒤 확률을 구한다. 예를 들어 공정한 주사위를 한 번 던져 짝수가 나올 확률은 전체 6가지 중 2, 4, 6의 3가지이므로 3/6=1/2이다. 조건부 선택이 추가되면 분모가 달라질 수 있으므로 문제의 상황이 바뀌었는지 확인해야 한다.
맞힌 문제를 다시 맞히는 것으로 끝내지 않는 검증
한 문제를 맞혔다고 수형도 학습이 끝난 것으로 보지 않는다. 다음 날에는 숫자와 주어, 조건 중 하나만 바꾼 문제를 제시한다. 예를 들어 3명 중 회장과 부회장을 뽑는 문제를 4명 중 대표와 기록 담당을 뽑는 문제로 바꾸고, 역할의 순서가 있는지 스스로 판단하게 한다.
또 ‘두 자리 수를 만들되 숫자를 중복해서 사용할 수 있다’는 문제를 ‘중복해서 사용할 수 없다’로 바꾸어 같은 수형도를 그대로 사용할 수 있는지 묻는다. 학생이 숫자만 바꾸고 가지 구조를 유지한다면 조건을 다시 읽게 한다. 시간 제한도 조금씩 적용해, 3분 안에 구할 것·조건·첫 행동을 표시하고 수형도의 첫 가지를 정확히 시작하는지 확인한다.
독립 검증의 기준은 정답뿐이 아니다. 학생이 문제를 읽은 뒤 익숙한 공식을 먼저 적지 않는지, 조건에 따라 수형도의 단계와 가지 수를 바꾸는지, 마지막에 중복과 누락을 직접 점검하는지를 기록한다. 이 과정이 되어야 오답노트의 페이지 수를 늘리는 대신 다시 틀릴 가능성이 높은 문제를 골라낼 수 있다.
수업에서 다루는 현재 문제와 중3 전환
백현동중2수학과외에서는 중1 전 범위를 다시 시작하지 않는다. 현재 수형도 문제를 막는 요소가 ‘순서가 있는 선택’인지, ‘중복 허용 여부’인지, ‘전체 경우의 수와 유리한 경우의 수의 구분’인지 짧은 문제로 확인한 뒤 바로 중2 문제에 적용한다. 학교 시험범위의 경우의 수와 수행평가 서술형에서 풀이 근거를 남기는 연습이 안정된 후에 다음 학년 문제로 이동한다.
자주 묻는 질문
수형도를 그리면 시간이 너무 오래 걸리지 않나요?
처음에는 시간이 걸리지만, 가지의 기준을 정하면 중복 계산을 줄일 수 있다. 익숙해진 뒤에는 모든 결과를 길게 쓰지 않고 단계별 가지 수와 조건에 맞지 않는 가지를 표시하는 방식으로 줄인다.
곱셈법칙과 수형도 중 무엇을 먼저 배우나요?
수형도로 선택의 구조를 확인한 뒤 곱셈법칙으로 간단히 표현한다. 조건이 단계마다 달라지는 문제는 수형도가 더 안전할 수 있다.
정답은 맞는데 수형도를 생략해도 되나요?
단답형에서는 가능할 수 있지만, 조건이 추가된 문제와 서술형에서는 근거가 필요하다. 최소한 구할 것과 조건, 각 단계의 선택 수는 남기는 습관을 만든다.