구미동중3수학과외, 보조선과 원주각의 조건부터 읽는 연습
학생이 원주각 문제에서 자주 보이는 첫 행동은 그림에 표시된 각을 확인하기도 전에 숫자부터 찾는 것이다. 예를 들어 원 위의 점 A, B, C가 있고 ∠ACB가 40°로 주어졌을 때, 학생은 보조선이 필요한지 판단하지 않은 채 다른 각에도 40°를 그대로 적는다. 그러나 원주각의 크기는 단순히 숫자를 옮겨 적어서 결정되지 않는다. 그 각이 바라보는 호가 무엇인지, 비교하는 두 각이 같은 호를 보는지부터 확인해야 한다.
같은 각이 아니라 같은 호를 확인해야 하는 이유
원주각은 원 위의 한 점에서 두 현을 연결해 만든 각이며, 그 각이 바라보는 호의 절반에 해당한다. 따라서 ∠ACB와 ∠ADB가 같은 호 AB를 바라본다면 두 각의 크기는 같다. 학생이 “둘 다 원주각이므로 같다”고 설명했다면 말의 근거를 바꿔야 한다. 두 각의 꼭짓점이 다르다는 사실은 문제가 되지 않지만, 양쪽 변이 끝나는 점이 A와 B로 같고 같은 호 AB를 바라본다는 조건이 필요하다.
수업에서는 학생에게 먼저 각의 양변 끝점을 표시하게 한다. ∠ACB라면 C에서 출발한 두 선분의 끝점이 A와 B이므로 호 AB를 바라본다. ∠ADB 역시 끝점이 A와 B이므로 같은 호 AB를 본다. 이 표시가 끝난 뒤에야 ∠ACB=∠ADB라고 쓸 수 있다. 계산보다 먼저 조건과 수학적 의미를 분리하는 과정이다.
보조선은 빈 공간을 채우는 선이 아니다
중3 원주각 문제에서 보조선은 대개 중심각이나 이등변삼각형의 성질을 끌어내기 위해 그린다. 원의 중심을 O라고 할 때, 원주 위의 점 A와 B를 잇는 현 AB에 대해 중심 O를 연결하면 OA와 OB는 모두 반지름이므로 OA=OB이다. 따라서 삼각형 AOB는 이등변삼각형이 되고, 밑각의 크기와 중심각 ∠AOB를 연결할 수 있다.
학생은 중심을 지나도록 선을 그리라는 말을 듣고도 원 위의 임의의 점을 연결하는 경우가 있다. 이 선은 새로운 정보를 만들지 못한다. 보조선을 그리기 전에는 ‘무엇을 얻기 위해 긋는가’를 한 문장으로 말하게 한다. 같은 호를 비교하려는지, 중심각을 만들려는지, 반지름 두 개로 이등변삼각형을 만들려는지를 결정한 뒤 선을 긋는다.
보조선의 목적: 주어진 각을 바로 계산하는 것이 아니라, 사용할 수 있는 성질이 드러나는 도형을 만드는 것.
학생의 오답을 조건 중심으로 고쳐 보기
한 문항에서 ∠ACB=32°이고 ∠AOB가 같은 호 AB를 보는 중심각이라면 학생은 32°를 그대로 적었다. 이 답은 원주각과 중심각을 구분하지 않은 결과다. 중심각은 같은 호를 보는 원주각의 두 배이므로 ∠AOB=64°이다. 반대로 중심각이 64°로 주어지고 원주각을 구한다면 32°가 된다. 방향이 바뀌었을 때도 ‘같은 호’라는 조건을 먼저 찾고, 중심각인지 원주각인지 확인해야 한다.
수정할 때는 풀이 첫 줄을 바로 계산식으로 시작하지 않는다. 학생은 다음 세 줄을 적는다.
- 구하는 각의 꼭짓점이 원 위인지 중심인지 확인한다.
- 그 각의 양변 끝점을 따라가 바라보는 호를 표시한다.
- 같은 호를 보는 원주각인지, 중심각과 원주각의 관계인지 결정한다.
이후에야 64÷2 또는 32×2와 같은 계산을 한다. 계산 결과 옆에는 ‘중심각은 원주각의 2배’처럼 사용한 근거를 붙인다. 답만 맞히는 것과 조건에 맞는 이유를 설명하는 것은 다르기 때문이다.
그림이 회전해도 같은 호를 찾는가
구미동에서 구미중학교와 불곡중학교 학생을 지도할 때도 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 학교 프린트나 교과서 문항에서 그림의 배치가 바뀌었을 때 학생의 첫 행동을 확인하는 방식이 적절하다. 구미마을과 건영아파트 주변에서 방과 후 이동한 뒤 확보한 자습시간에는 같은 문제를 반복하기보다, 도형을 회전하거나 보조선의 위치를 바꾼 문항을 짧게 검증하는 편이 효율적이다. 무지개도서관을 이용해 자습하는 경우에도 풀이를 마친 뒤 각의 양변 끝점과 바라보는 호를 표시하게 하면 계산만 외운 흔적을 확인할 수 있다.
예를 들어 원 위의 네 점 P, Q, R, S가 순서와 다르게 배치된 그림에서 ∠P R Q=27°가 주어졌다고 하자. 새 문제에서 ∠P S Q를 묻는다면 학생은 꼭짓점 R과 S가 다르다는 이유로 멈추지 않고, 두 각 모두 끝점 P와 Q를 가지므로 같은 호 PQ를 본다는 사실을 찾아야 한다. 따라서 ∠P S Q도 27°이다. 여기서 필요한 첫 행동은 숫자 기억이 아니라 양변의 끝점을 비교하는 것이다.
보조선을 그은 뒤에도 의미를 확인하기
다른 변형에서는 ∠ACB=35°이고 중심 O가 표시되지 않은 상태에서 ∠AOB를 구하게 할 수 있다. 학생이 O를 임의의 점으로 잡으면 풀이가 성립하지 않는다. 먼저 그림에서 원의 중심 표시를 확인하고, 실제 중심이라면 OA와 OB를 연결한다. 그러면 삼각형 AOB의 두 변이 반지름이라는 근거가 생기며, 중심각과 원주각이 같은 호 AB를 본다는 사실을 사용할 수 있다. 결과는 ∠AOB=70°이다.
마지막 확인에서는 숫자만 바꾸지 않고 조건의 제시 방법도 바꾼다. 중심각 118°가 그림에 표시된 문제에서 학생은 원주각을 59°로 구한 뒤, 왜 나누었는지 설명해야 한다. 이어 같은 호를 보지 않는 각을 하나 제시하면 무조건 같다고 쓰지 않고 비교를 중단해야 한다. 도움 없이 ‘끝점 확인→호 표시→각의 종류 결정→보조선의 목적 설명→계산’의 순서를 꺼내면 원주각 단원의 학습이 실제 문제 해결로 이어진 것으로 볼 수 있다.