부천중3수학과외, 접선 길이의 조건을 읽고 근거까지 연결하기
“점 P에서 원에 그은 접선의 길이는 반지름과 같으므로 PA=PB이다.”
부천의 한 중3 학생이 원 밖의 점 P에서 그은 두 선분 PA, PB를 보고 적은 답안이다. 답 자체는 맞을 수 있지만, 이유가 잘못되었다. 접선 길이가 같아지는 까닭은 반지름의 길이와 같아서가 아니라, 같은 외부 점에서 한 원에 그은 두 접선의 길이가 같기 때문이다. 접선 길이 문제는 계산보다 먼저 도형의 조건을 판별하고, 어떤 정리를 적용할 수 있는지 설명하는 과정이 중요하다.
접점 표시 없이 길이부터 비교하던 풀이
문제에 원의 중심 O와 외부 점 P, 접점 A와 B가 주어졌다고 하자. PA와 PB가 각각 원에 접하는 선분이라면 학생은 먼저 두 선분에 같은 표시를 하고 PA=PB라고 적었다. 그러나 그림에서 선분이 원과 만난다는 사실만으로 접선이라고 판단할 수는 없다. 한 점에서 원과 한 점에서만 만나며, 그 점에서 반지름과 직각을 이루는지가 확인되어야 한다.
학생의 첫 행동은 그림에 표시된 직각 기호를 지나치고, PA와 PB의 위치가 대칭처럼 보인다는 이유로 길이를 같다고 쓰는 것이었다. 이때는 “접선인가?”와 “같은 외부 점에서 그은 것인가?”를 차례로 확인하게 해야 한다.
직각 표시가 정리의 출발점이 되는 이유
OA와 OB가 반지름이고 PA, PB가 접선이라면 접점에서 반지름과 접선은 서로 수직이다. 따라서 ∠OAP=∠OBP=90°이다. 또 OA=OB는 같은 원의 반지름이고, OP는 두 삼각형에 공통이다. 그러므로 직각삼각형 OAP와 OBP는 빗변과 한 변이 각각 같아 합동이다.
합동에서 대응하는 변을 읽으면 PA=PB가 된다. 즉 답안에는 단순히 “접선의 길이는 같다”라고 쓰기보다 다음과 같이 조건과 근거를 함께 남기는 편이 정확하다.
OA=OB, ∠OAP=∠OBP=90°, OP는 공통이므로 △OAP≡△OBP. 따라서 PA=PB이다.
이 과정을 쓰게 하면 학생은 그림의 모양이 아니라 접선, 반지름, 공통 외부점이라는 조건을 근거로 길이를 비교하게 된다.
같은 길이 정리를 적용할 수 없는 그림 구별하기
다음 두 상황을 나란히 제시하면 조건 판별이 선명해진다. 첫 번째는 점 P에서 원에 그은 두 접선 PA, PB이다. 이때 PA=PB를 사용할 수 있다. 두 번째는 P에서 원을 가로질러 두 점 A, B를 지나는 할선이다. 이 경우 PA와 PB는 모두 원과 관련된 선분이지만 접선이 아니므로 같은 정리를 적용할 수 없다.
학생은 두 번째 그림에서도 “P에서 그었으니 두 길이가 같다”고 말할 수 있다. 이때 PA와 PB가 원과 만나는 횟수, 접점의 존재, 반지름과의 직각 여부를 표시하게 한다. 접선은 원과 한 점에서 만나고, 그 접점으로 향하는 반지름과 수직이라는 두 단서가 있어야 한다.
길이가 주어진 문제에서 먼저 찾을 것
예를 들어 OP=13cm, 원의 반지름 OA=5cm이고 PA가 접선이라면 △OAP는 직각삼각형이다. 피타고라스 정리에 따라
PA²=OP²-OA²=13²-5²=169-25=144
이므로 PA=12cm이다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 -12를 답으로 쓰지 않는다. 반대쪽 접선 PB도 같은 외부 점 P에서 그은 접선이라면 PB=12cm이다.
학생이 자주 하는 실수는 13²+5²로 계산하거나, OP와 PA를 직각변으로 놓는 것이다. 수정할 때는 계산부터 다시 시키지 않고 “직각은 어느 각에 표시되어 있는가?”를 먼저 묻는다. ∠OAP가 직각이면 OA와 PA가 두 직각변이고 OP가 빗변이라는 구조를 직접 말하게 한다.
부천의 이동 시간 안에 풀이 근거를 남기는 연습
부천에서는 계남중학교, 까치울중학교, 내동중학교, 덕산중학교, 도당중학교, 범박중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 송내동·계수동·괴안동·범박동·소사본동·심곡본동 학생의 동일한 통학권으로 단정할 수는 없다. 송내역이나 송내주공1단지, 일루미2단지처럼 생활권에 따라 방과후 이동 경로와 귀가 시간이 달라질 수 있으므로, 수업에서는 이동 뒤 확보된 짧은 시간에도 한 문항의 조건을 말로 설명하고 식을 남기는 방식이 현실적이다.
접선 길이 문제를 풀고 난 뒤 학생에게 정답만 사진으로 남기게 하지 않고, 다음 세 문장을 직접 기록하게 한다.
- PA와 PB가 접선인지 확인한 근거
- 어느 각이 직각인지
- 피타고라스 정리에서 빗변과 두 직각변이 무엇인지
이 기록은 풀이가 맞았는지보다 어떤 조건을 사용했는지를 확인하게 해 준다. 특히 통학 후 시간이 짧은 날에는 비슷한 문제를 여러 개 푸는 대신, 한 문제의 그림에서 접점과 반지름을 표시하고 한 줄의 이유를 완성하는 편이 효과적이다.
숫자와 도형을 바꾼 뒤에도 같은 판단을 하는가
독립 검증에서는 OP=17cm, 반지름이 8cm인 새 그림을 제시하되 접선의 위치를 반대편으로 바꾼다. 학생이 먼저 “접점에서 반지름과 접선이 직각”이라고 표시하면
PA²=17²-8²=289-64=225
따라서 PA=15cm라고 구할 수 있다. 이후 다른 접선의 길이를 묻자 답을 외워 15cm라고 쓰는지, 아니면 “같은 외부 점 P에서 같은 원에 그은 두 접선이므로 PB=PA=15cm”라고 근거를 붙이는지 확인한다.
마지막으로 한 조건을 바꾼다. 두 선분이 P에서 출발하지만 하나가 원을 두 점에서 지나는 할선이라면, 학생이 더 이상 접선 길이 정리를 적용하지 않고 새로운 도형 조건을 다시 읽어야 한다. 숫자가 달라져도 첫 행동이 접점 확인, 직각 확인, 외부점 확인의 순서로 유지될 때 접선 길이를 공식이 아닌 조건 중심으로 이해했다고 볼 수 있다.