“\(x^2-6x+5=0\)이니까 \((x-3)^2=5\), 따라서 \(x=3+\sqrt5\)이다.” 마포구의 한 중3 학생이 학교 프린트에 적은 풀이에는 계산 실수보다 더 중요한 문제가 있었다. 제곱근을 취한 뒤 음의 값까지 고려하지 않아 한 근을 빠뜨린 것이다. 완전제곱식은 식을 보기 좋게 바꾸는 기술에 그치지 않고, 바꾼 뒤 어떤 조건을 확인해야 하는지까지 연결되어야 한다.
마포구중3수학과외, 완전제곱식 뒤에 두 근과 조건을 확인하는 과정
학생은 처음부터 완전제곱식 변형을 못 한 것은 아니었다. \(x^2-6x+5=0\)에서 상수항을 오른쪽으로 보내고, 양변에 9를 더해
\[ x^2-6x+9=4+9,\qquad (x-3)^2=13 \]
까지는 적절히 진행했다. 그런데 다음 줄에 \(x-3=\sqrt{13}\)만 쓰고 끝냈다. 제곱해서 같은 값이 되는 수는 \(\sqrt{13}\)과 \(-\sqrt{13}\)이므로, 정확한 식은
\[ x-3=\pm\sqrt{13},\qquad x=3\pm\sqrt{13} \]
이다. 완전제곱식 풀이에서 확인할 첫 지점은 ‘제곱된 식을 벗길 때 ±가 필요한가’이다. \(y^2=13\)의 해를 구하는 상황에서는 두 부호가 모두 필요하지만, \(\sqrt{13}\) 자체를 계산하는 문제에는 ±를 붙이지 않는다. 학생이 두 질문을 같은 방식으로 처리하면 답의 개수가 달라진다.
식을 만들기 전에 x의 계수 절반을 확인한다
완전제곱식은 아무 수나 더해 만드는 것이 아니다. \(x^2+bx\)에서 \(b\)의 절반을 제곱해야 한다.
\[ x^2+8x=(x+4)^2-16 \]
이때 학생이 \(8^2=64\)를 사용하면 식 자체가 달라진다. 실제로는 \(x^2+8x+16=(x+4)^2\)이므로 더한 16을 한쪽에서 반드시 보정해야 한다. 예를 들어
\[ x^2+8x-1=0 \]
은
\[ x^2+8x=1,\quad x^2+8x+16=17,\quad (x+4)^2=17 \]
이 되고, 따라서 \(x=-4\pm\sqrt{17}\)이다. 학생에게 “완전제곱식을 만든다”고 말하게 하는 대신, “일차항 계수의 절반을 제곱해 양변에 같은 수를 더한다”고 풀이 행동을 구체화하면 어느 줄에서 근거가 필요한지 드러난다.
제곱식의 값이 음수일 때는 해의 조건을 먼저 판별한다
완전제곱식 풀이에서는 계산을 계속하는 것보다 실수해가 존재하는지 먼저 판단해야 하는 경우도 있다.
\[ x^2-4x+7=0 \]
을 정리하면
\[ x^2-4x+4=-3,\qquad (x-2)^2=-3 \]
이다. 실수 범위에서 어떤 수를 제곱해도 0보다 작아질 수 없으므로 실수해는 없다. 그런데 학생은 \(\sqrt{-3}\)을 중3 실수 범위의 답처럼 쓰거나, 오른쪽의 \(-3\)을 부호 실수로 보고 임의로 3으로 바꾸기도 한다. 이때 필요한 수정 행동은 계산을 이어 가는 것이 아니라, “제곱식의 왼쪽 값은 항상 0 이상”이라는 조건을 문장으로 적는 것이다.
반대로
\[ x^2-4x+3=0 \]
에서는 \((x-2)^2=1\)이므로 \(x=1,3\)이다. \((x-2)^2=0\)인 경우에는 해가 하나로 겹친다. 따라서 완전제곱식으로 바꾼 뒤에는 오른쪽 값이 양수인지, 0인지, 음수인지에 따라 실수해의 개수도 달라진다.
학교 일정 속에서 풀이 행동을 고정하는 방법
마포구에는 경성중학교, 광성중학교, 동도중학교, 상암중학교, 서울여자중학교, 성사중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들이 공덕동·망원동·상암동 등 모든 세부 생활권 학생의 동일한 통학권이나 시험 일정으로 이어진다고 단정할 수는 없다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 학생의 평일 귀가 시간을 확인한 뒤 완전제곱식 문제를 배치해야 한다. 예를 들어 귀가가 늦은 날에는 새 유형을 여러 개 풀기보다, 한 문항의 변형 과정을 말로 설명하고 부호와 해의 개수를 점검하는 짧은 학습으로 구성할 수 있다.
학교 프린트에 이차방정식과 완전제곱식이 함께 제시되었다면 먼저 세 줄 점검표를 만든다.
- 일차항 계수의 절반을 제곱했는가?
- 더한 수를 양변에 똑같이 반영했는가?
- 제곱근을 취할 때 두 부호와 실수 조건을 확인했는가?
이 점검표는 풀이를 대신하는 공식이 아니라 학생의 손 움직임을 바꾸는 장치다. 식을 변형한 직후 괄호 안의 수를 다시 전개해 원래 식으로 돌아오는 것도 효과적이다. \((x+4)^2-17=x^2+8x-1\)처럼 전개해 보면, 절반을 잘못 잡았거나 보정항을 빠뜨린 오류를 즉시 찾을 수 있다.
숫자와 식의 모양이 바뀐 문제에서 확인한다
같은 문제를 다시 풀어 정답을 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음에는
\[ 2x^2+8x-10=0 \]
을 제시하고 학생이 먼저 2로 나누어 \(x^2+4x-5=0\)으로 만들도록 한다. 그러면
\[ x^2+4x=5,\quad (x+2)^2=9,\quad x+2=\pm3 \]
이므로 \(x=1,-5\)이다. 여기서는 \(x^2\)의 계수가 1이 아니어서 바로 제곱식을 만들 수 없다는 점이 달라졌다. 학생이 도움 없이 먼저 공통인수를 정리하고, 양변에 4를 더한 뒤, 두 근을 모두 적었다면 이전의 답을 기억한 것이 아니라 완전제곱식의 조건을 새 형태에 적용한 것으로 볼 수 있다.
마지막으로 두 근을 원래 식에 대입한다. \(x=1\)이면 \(2+8-10=0\), \(x=-5\)이면 \(50-40-10=0\)이므로 두 값 모두 조건을 만족한다. 완전제곱식 풀이의 마무리는 답을 적는 데 있지 않다. 절반을 정확히 정하고, 제곱식의 부호를 판별하며, ±를 빠뜨리지 않고, 바뀐 식에서도 같은 판단을 다시 꺼내는 데 있다.