창천동중3수학과외, 수의 관계 문제를 식으로 바꾸고 변형까지 확인하는 과정
“어떤 수에 4를 더한 수는 그 수의 3배보다 10 작다.” 이 문장을 본 학생이 먼저 숫자 4와 10만 옮겨 적고, 식을 3x-4=10처럼 만드는 경우가 있다. 계산이 어려워서라기보다 문장 속에서 무엇을 기준으로 삼아야 하는지 정하지 않은 채 식부터 쓰기 때문이다. 중3 수의 관계 문제에서는 공식을 외우는 것보다 수 사이의 관계를 한 문장씩 해석하고, 바뀐 조건에서도 같은 판단을 다시 꺼내는 과정이 중요하다.
‘그 수’를 먼저 정하지 않으면 식의 방향이 흔들린다
위 문장에서 어떤 수를 x라고 두면 ‘그 수의 3배보다 10 작다’는 3x-10으로 표현된다. 앞부분의 ‘어떤 수에 4를 더한 수’는 x+4이므로 관계식은 다음과 같다.
x+4=3x-10
양변에서 x를 빼고 4를 이항하면 14=2x, 따라서 x=7이다. 학생이 처음 쓴 식에서는 ‘10 작다’를 단순히 4에서 빼 버렸지만, 실제로 작아지는 대상은 ‘그 수의 3배’였다. 이 차이를 계산 전에 말로 확인해야 한다.
기준이 되는 수를 x로 둔다 → 각 표현을 따로 만든다 → 두 표현의 관계를 등호로 연결한다.
풀이 중간에 “무엇이 무엇보다 큰가?”를 다시 묻게 하면 식의 방향을 확인할 수 있다. x=7을 대입했을 때 왼쪽은 11, 오른쪽은 11이므로 관계가 맞는지도 즉시 검산할 수 있다.
연속한 두 수에서는 두 번째 수를 따로 만들지 않는다
수의 관계 문제에서 학생이 자주 멈추는 장면은 ‘연속한 두 자연수’라는 조건이다. 첫 수를 x라고 두고 두 번째 수도 x라고 적은 뒤, 마지막에 1을 더하는 방식으로 처리하려 한다. 그러면 두 수가 같아져 조건이 사라진다.
연속한 두 자연수를 각각 x, x+1로 두고, 합이 31이라는 조건을 적용하면
x+(x+1)=31
2x+1=31이므로 x=15, 두 수는 15와 16이다. 답을 구한 뒤 두 수의 차가 1인지, 합이 31인지 함께 확인해야 한다. 학생이 x=15만 답으로 적었다면 첫 번째 수만 구한 것인지, 두 수를 묻는 문제인지 질문의 대상을 다시 읽게 한다.
문장 순서가 바뀌어도 관계는 변하지 않는다
“두 수의 합은 26이고, 큰 수는 작은 수보다 8 크다”와 “작은 수보다 8 큰 수와 작은 수의 합이 26이다”는 표현은 다르지만 같은 구조를 가진다. 작은 수를 x로 정하면 큰 수는 x+8이다.
x+(x+8)=26
따라서 2x=18, x=9이고 두 수는 9와 17이다. 학생에게 문장의 앞부분부터 무조건 미지수로 두게 하지 않고, ‘작은 수’처럼 기준이 분명한 대상을 선택하게 한다. 큰 수를 y로 두는 것도 가능하지만, 그 경우 작은 수는 y-8이 되어야 한다. 어떤 수를 미지수로 정하든 끝까지 같은 기준을 유지하는지가 판단 기준이다.
창천동 주소에 해당하는 중학교는 제공 자료에서 확인되지 않는다. 따라서 특정 학교의 내신 경향을 창천동 전체의 특징처럼 말하기는 어렵다. 같은 서대문구의 가재울중학교, 동명여자중학교, 명지중학교, 서연중학교, 신연중학교는 지역 소재 학교로 단정하지 않고 통학권 참고 범위로만 살펴볼 수 있다. 실제 학습 계획은 학교별 시험 일정과 학생의 주간 이동·수업 시간을 확인해 조정하며, 학교 이름보다 현재 학생이 문장을 식으로 바꾸는 데 몇 분이 걸리는지, 검산을 스스로 하는지를 기준으로 잡는 편이 정확하다.
맞힌 식도 ‘왜 그렇게 두었는지’ 설명해야 한다
학생이 x와 x+1을 올바르게 적고도 “그냥 연속한 수니까요”라고만 답한다면 풀이가 끝난 것은 아니다. ‘첫 번째 수에서 1을 더하면 바로 다음 수가 되기 때문’이라고 말할 수 있어야 숫자가 바뀐 문제에도 적용할 수 있다. 예를 들어 연속한 세 정수의 합이 42라면 x-1, x, x+1로 두고
(x-1)+x+(x+1)=42
정리하면 3x=42이므로 가운데 수는 14, 세 수는 13, 14, 15이다. 앞의 두 수 문제와 모양이 달라졌지만, 기준이 되는 수를 정하고 관계에 따라 나머지를 표현한다는 원리는 같다. 이때 학생이 세 수를 모두 x로 적는다면 ‘서로 다른 수라는 조건이 식에 반영되었는가’를 확인하게 한다.
숫자와 질문을 바꾼 뒤 첫 행동을 다시 본다
같은 문제를 숫자만 바꾸어 곧바로 다시 풀게 하면 풀이를 기억했는지만 확인하게 된다. 대신 다음 문제처럼 조건과 구하는 대상을 함께 바꾼다.
“연속한 세 정수의 합이 57일 때, 가장 큰 수를 구하여라.”
학생은 먼저 가운데 수를 x로 둘지, 가장 작은 수를 x로 둘지 선택해야 한다. 가운데 수를 두면 (x-1)+x+(x+1)=57이므로 3x=57, x=19이다. 가장 큰 수는 20이다. 여기서 답을 19라고 적는다면 식은 맞았지만 문제의 구하는 대상을 놓친 것이다. 풀이 마지막에 ‘내가 구한 x가 어떤 수인지’와 ‘문제가 요구한 수가 무엇인지’를 각각 적게 하면 이 오류를 분리해 볼 수 있다.
또 “두 수 중 큰 수가 작은 수의 2배보다 3 크고, 두 수의 합이 24”라는 조건에서는 작은 수를 x, 큰 수를 2x+3으로 두어 x+(2x+3)=24를 세운다. 학생이 숫자를 보고 임의로 큰 수를 2x-3으로 적지 않고, ‘보다 3 크다’라는 말을 식으로 설명한 뒤 계산하는지가 독립 적용의 기준이다. 마지막에는 두 수를 원래 문장에 대입해 합과 크기 관계를 모두 확인한다.
수의 관계 문제에서 확인할 풀이 흔적
- 미지수로 정한 수가 무엇인지 한 문장으로 적었는가.
- ‘보다 크다’, ‘작다’, ‘연속한다’의 방향을 식에 반영했는가.
- 계산 후 각 수를 원래 조건에 대입했는가.
- 구한 값이 문제에서 요구한 대상과 일치하는가.
이 네 가지가 숫자와 문장 순서가 달라진 문제에서도 도움 없이 나타난다면 공식 암기를 넘어 수의 관계를 식으로 조직하고 있다는 뜻이다. 창천동 중3 수학 학습도 진도량을 늘리는 데만 두기보다, 한 문장을 읽고 기준을 정한 뒤 식을 세우고 결과를 역검산하는 행동이 실제 풀이에 남는지부터 확인하는 방식으로 진행할 수 있다.