신정동중2수학과외, 활용식 세우기에서 경우를 빠뜨리지 않는 연습
중2 수학에서 활용식 세우기는 계산이 끝난 뒤 답을 찾는 문제가 아니라, 문장 속 관계를 식으로 바꾸는 과정에서 승부가 난다. 학생이 문제를 읽고 숫자부터 표시하거나 가능한 경우를 무작정 나열하면 처음에는 많이 푼 것처럼 보여도 같은 경우를 두 번 세거나 하나를 빠뜨리기 쉽다. 신정동에서 중2 수학 학습을 점검할 때도 문제 수보다 첫 식을 어떤 근거로 세웠는지 확인하는 편이 효과적이다.
숫자를 찾기 전에 관계를 문장으로 바꾸기
예를 들어 어떤 두 수의 합이 18이고 큰 수가 작은 수보다 4만큼 크다고 하자. 두 수를 임의로 나열하면 1과 17, 2와 16처럼 가능한 쌍을 적게 된다. 그러나 작은 수를 x로 두면 큰 수는 x+4이고, 합의 관계는 x+(x+4)=18로 바로 나타난다. 식을 세운 뒤 2x+4=18, x=7이므로 두 수는 7과 11이다.
이 장면에서 중요한 것은 x를 정하는 일이 아니라 ‘무엇을 x로 두었는지’와 ‘다른 양을 어떻게 표현했는지’를 끝까지 유지하는 것이다. 학생이 작은 수를 x로 정해 놓고 중간에 큰 수를 x-4로 바꾸면 계산이 맞아 보여도 문제의 관계와 어긋난다.
신정동 생활권에서 학습 시간을 먼저 고정하기
제공된 자료상 신정동 주소의 중학교는 확인되지 않으며, 경성중학교·광성중학교·동도중학교·상암중학교·서울여자중학교는 같은 마포구의 통학권 참고 학교로만 볼 수 있다. 특정 학교의 시험 난도나 출제 경향을 단정하기보다 자녀의 귀가 시각, 과제량, 시험 전 문제 풀이 순서를 기준으로 학습 시간을 정하는 것이 현실적이다. 중2에서는 학교 프린트의 문장 표현이 조금만 달라져도 식을 새로 세워야 하므로, 익숙한 예제의 답을 외우는 방식만으로는 부족하다.
실제 오답은 ‘계산 실수’보다 식 세우기에서 시작된다
학생에게 다음과 같은 문제가 주어졌다고 하자.
연속한 두 자연수의 합이 37일 때 두 수를 구하여라.
학생은 17, 20, 18, 19를 차례로 적은 뒤 “18과 19”라고 답할 수 있다. 답 자체는 맞지만, 풀이에는 두 수가 왜 그렇게 정해졌는지 식이 없다. 반대로 어떤 학생은 작은 수를 x로 두고 큰 수를 x+1로 표현해야 하는데, 두 수를 x와 x+2로 적어 2x+2=37을 만든다. 이 경우는 계산 오류가 아니라 연속한 자연수의 뜻을 식으로 옮기는 과정에서 생긴 개념·식 세우기 오류다.
또 다른 문제에서 남학생 수를 x, 여학생 수를 x+6으로 두었는데 실제 문장은 “남학생이 여학생보다 6명 적다”일 수 있다. 이때 x의 대상을 바꾸지 않고 식을 쓰면 방향이 뒤집힌다. 학생이 숫자에 동그라미만 치고 ‘많다, 적다, 합, 차’ 같은 관계어를 표시하지 않을 때 이런 오답이 반복된다.
풀이 첫 줄에 대상과 관계를 남긴다
훈련에서는 문제를 보자마자 계산하지 않고 다음 세 줄을 먼저 작성한다.
- 구하려는 양 중 하나를 x로 정하고 단위를 쓴다.
- 나머지 양을 x, x+3, 2x, 20-x처럼 문장에 맞게 표현한다.
- 합, 차, 전체 수, 거리, 가격 중 어떤 관계를 등식으로 만들지 표시한다.
예를 들어 연필 한 자루가 800원이고 공책 한 권이 1200원일 때 모두 7개를 사서 6800원을 냈다면, 연필을 x개로 둘 때 공책은 7-x개이다. 따라서 800x+1200(7-x)=6800으로 세워야 한다. 괄호를 먼저 표시하고 전개한 뒤 800x+8400-1200x=6800, -400x=-1600, x=4를 얻는다. 공책은 3권이다. 학생이 7-x를 x-7로 바꾸는지, 가격과 개수를 뒤섞는지, 음수가 나왔을 때 식의 의미를 확인하지 않는지 한 줄씩 관찰한다.
중1의 문자 사용이 불안정하더라도 문자와 계수 전 범위를 다시 시작하지 않는다. 현재 문제에서 x가 무엇인지, x+1이 실제로 어떤 양인지 짧게 확인하고 바로 활용식 세우기로 돌아온다. 한 자료를 펼쳐 풀이를 재현하게 하고, 풀이를 본 직후 정답만 다시 쓰게 하지 않는다.
다음 날에는 숫자와 조건을 바꾼다
같은 문제를 다시 맞힌 것으로 학습을 끝내지 않는다. 연속한 두 자연수의 합을 37에서 51로 바꾸고, ‘큰 수가 작은 수의 2배보다 3만큼 크다’처럼 관계를 바꾼 새 문제를 제시한다. 학생이 작은 수를 x로 둘 때 큰 수를 2x+3으로 정확히 표현하는지 확인한다.
가격 문제도 총 개수 7개와 금액 6800원을 그대로 쓰지 않고, 물건의 가격과 전체 개수를 바꾼다. 시간 제한을 두고 식을 세운 뒤 해를 원래 문장에 대입해 개수가 자연수인지, 전체 개수와 맞는지, 금액이 다시 나오는지 검산한다. 가능한 경우를 나열해야 하는 문제라면 표의 항목을 먼저 정하고, 각 경우에 번호를 붙여 중복과 누락을 표시한다.
과외에서 확인할 학습 순서
신정동중2수학과외에서는 선생님이 식을 대신 완성하지 않고 학생이 문장에 밑줄을 긋고 변수의 대상을 말하게 한다. 이후 식을 세운 이유를 한 문장으로 설명하고, 계산 결과를 원문 조건에 대입한다. 풀이가 맞았더라도 숫자·주어·조건을 바꾼 새 문제에서 첫 줄을 독립적으로 작성하지 못하면 아직 종료하지 않는다. 학생이 스스로 ‘무엇을 x로 둘지→다른 양을 어떻게 나타낼지→어떤 관계식을 만들지’의 순서를 정할 수 있을 때 중3 선행 여부도 더 정확히 판단할 수 있다.
자주 묻는 내용
답을 맞히면 식이 없어도 괜찮나요?
활용식 세우기에서는 답보다 관계를 식으로 표현한 근거가 중요하다. 답을 맞혀도 식이 없으면 조건이 바뀐 문제에서 다시 막힐 수 있다.문제를 많이 풀면 해결되나요?
문제 수보다 변수의 대상과 관계를 적는 습관이 먼저다. 한 문제를 풀더라도 식을 세운 이유와 대입 검산까지 남겨야 한다.중3 선행을 바로 시작해도 될까요?
현재 중2 활용 문제에서 조건을 식으로 바꾸고 새 숫자의 문제까지 독립적으로 해결하는지 먼저 확인하는 것이 안전하다.