마포동중3수학과외, 근의 공식의 숫자만 바꿔도 스스로 풀어내는 연습
학생이 다음 이차방정식의 답을 적었다.
2x²-5x-3=0 → x=(5±√49)/2
여기까지는 근의 공식에 수를 대입한 흔적이 보이지만, 답안은 멈춰 있었다. 분모의 2가 어디에서 왔는지, 판별식에 해당하는 부분을 어떻게 계산했는지, 마지막에 두 근을 어떻게 나누어야 하는지가 연결되지 않은 상태였다. 근의 공식은 식을 한 번 외워서 대입하는 단원이 아니라, 계수의 위치를 보존하고 두 해를 끝까지 확인하는 과정이 필요한 주제다.
공식보다 먼저 a, b, c의 자리를 고정하기
근의 공식은 일반형 ax²+bx+c=0에서
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
로 사용한다. 위 식에서 a=2, b=-5, c=-3이므로 부호를 포함해 괄호로 옮기면 다음과 같다.
x={-(-5)±√{(-5)²-4×2×(-3)}}/(2×2)
= {5±√49}/4
= (5±7)/4
따라서 x=3 또는 x=-1/2이다. 처음 답안처럼 분모를 2로 쓰면 2a를 계산하지 않은 것이고, √49를 7로 바꾼 뒤에도 두 경우를 각각 계산하지 않으면 해 하나를 놓치게 된다.
마이너스 부호를 숫자 앞에 붙이지 않고 계수 전체로 옮기기
학생은 b=-5일 때 공식의 -b를 단순히 -5로 적는 경우가 많다. 이때는 ‘b의 반대 부호’라고 말하는 것보다 b 자리에 (-5)를 통째로 넣는 행동이 안전하다. 특히 -4ac에서 c가 음수이면
-4×2×(-3)=+24
가 된다. 부호를 생략하고 4×2×3으로만 계산하면 판별식이 달라진다. 풀이 줄마다 a=, b=, c=를 먼저 적고, 공식에 대입할 때 음수 계수를 괄호로 묶는 방식으로 수정한다.
맞힌 답도 두 근의 대입으로 끝내지 않기
근의 공식으로 구한 값은 원래 방정식에 다시 넣어 확인할 수 있다. x=3을 대입하면
2×3²-5×3-3=18-15-3=0
이고, x=-1/2를 대입하면
2×(-1/2)²-5×(-1/2)-3
=1/2+5/2-3=0
이다. 두 값이 모두 0이므로 계산이 맞다. 학생에게 ‘검산했니?’라고 묻는 데서 끝내지 않고, 답안 아래에 x=3과 x=-1/2를 각각 한 줄씩 대입하게 한다. 근이 두 개인 문제에서 한 값만 확인하는 습관을 없애기 위한 절차다.
해의 개수에 따라 ±를 다루는 방법 바꾸기
모든 문제에서 무조건 두 실근이 나오는 것은 아니다. 예를 들어 x²-6x+9=0은 a=1, b=-6, c=9이므로
b²-4ac=(-6)²-4×1×9=0
이다. 이때 √0=0이므로 ±를 써도 결과가 같고, 해는 x=3 하나다. 반대로 x²+2x+5=0에서는
2²-4×1×5=-16
이 되어 중학교 과정에서 다루는 실수 범위의 해가 없다. 학생이 공식 마지막에 숫자만 계산하지 않고, 제곱근 안의 값이 양수인지 0인지 음수인지 먼저 표시하도록 지도한다.
마포동 주소의 중학교는 제공된 자료에서 확인되지 않으며, 경성중학교·광성중학교·동도중학교·상암중학교·서울여자중학교는 같은 마포구의 통학권 참고 학교로만 볼 수 있다. 학교별 시험 경향을 단정하기보다 귀가 시각 이후 과제량을 확인하고, 시험 준비 때는 ‘공식 암기→계수 표시→대입→두 근 계산→검산’의 순서를 자녀가 실제로 지키는지 살피는 편이 유용하다.
숫자와 식의 모양을 바꾼 뒤 독립적으로 확인하기
다음 문제는 앞의 식과 계수와 부호가 다르다.
3x²+2x-1=0
학생이 도움 없이 먼저 a=3, b=2, c=-1을 적고 공식에 넣는지가 관찰 지점이다.
x={-2±√(2²-4×3×(-1))}/6
={-2±√16}/6
=(-2±4)/6
따라서 x=1/3 또는 x=-1이다. 여기서도 두 해를 원래 식에 넣으면 각각 0이 된다. 앞 문제의 정답을 기억해 따라 쓰는 것이 아니라, c의 음수 부호 때문에 판별식의 뺄셈이 덧셈으로 바뀌는 것을 스스로 처리해야 한다.
새 문제에서 첫 줄에 계수를 정확히 분류하고, 공식의 -b와 2a를 빠뜨리지 않으며, ±를 두 계산으로 나눈 뒤 두 근을 검산했다면 근의 공식 학습은 풀이량이 아니라 독립 적용 단계로 넘어간 것이다.