도화동중1수학과외, 전개도를 면의 이웃 관계로 확인하는 연습
전개도 문제에서 “이 면이 접히면 어느 면과 만나나요?”라는 질문을 받았을 때, 그림의 모양을 외워 답하는 학생은 전개도가 조금만 바뀌어도 쉽게 흔들린다. 특히 정육면체나 직육면체의 전개도는 같은 입체를 만들 수 있는 배열이 여러 가지이므로, 면의 위치를 눈에 익히는 것보다 접힌 뒤 실제로 서로 이웃하는지 확인하는 과정이 중요하다.
도화동 지역의 중학교 정보는 해당 지역명 주소로 확인된 학교가 없으므로 특정 학교의 시험 방식이나 난도를 단정하지 않는다. 같은 마포구의 경성중학교, 광성중학교, 동도중학교, 상암중학교, 서울여자중학교 등은 통학권 참고 자료로만 볼 수 있다. 실제 학습에서는 학교별 프린트와 수행평가 일정, 학생의 주간 학습 시간을 기준으로 전개도 문제를 조정한다.
그림을 보고도 면의 관계를 설명하지 못하는 장면
예를 들어 정육면체 전개도에서 가운데 면을 1번, 그 위와 아래에 붙은 면을 2번과 3번, 양옆 면을 4번과 5번이라고 하자. 학생이 “1번과 2번은 붙어 있으니 접은 뒤에도 이웃이고, 4번과 5번은 양쪽에 있으니 마주 본다”고 답할 수 있다. 그러나 실제로는 전개도의 선분을 따라 면이 접히므로, 평면에서 멀리 떨어져 보이는 면이 입체에서 이웃이 될 수도 있다.
학생은 종종 전개도 전체를 한 번에 접는다고 생각해 면의 순서를 혼동한다. 또 한 면을 기준으로 다른 면이 어느 방향으로 세워지는지 표시하지 않고, 익숙한 전개도와 비슷하다는 이유만으로 답을 고른다. 이때 답을 틀린 뒤 새 문제집을 추가해도, 어느 면이 어느 변을 공유하는지 확인하지 않는 행동은 그대로 남는다.
면 번호보다 먼저 확인할 것
처음에는 전개도의 각 면에 번호를 붙이고, 기준 면 하나를 정한다. 기준 면을 바닥이라고 생각한 뒤 그 면과 변을 공유하는 네 면을 각각 앞, 뒤, 왼쪽, 오른쪽 후보로 표시한다. 이때 단순히 위·아래·왼쪽·오른쪽이라고 외우지 말고 “어떤 변을 따라 접히는가”를 적는다.
예를 들어 기준 면의 오른쪽 변에 붙은 면은 오른쪽으로 세워진다. 그 면의 바깥쪽 변에 이어진 면은 다시 접히면서 기준 면의 반대편에 놓일 수 있다. 따라서 한 면이 기준 면과 직접 변을 공유하는지, 다른 면을 사이에 두고 연결되는지 구분해야 한다. 꼭짓점만 만나는 두 면은 이웃 면으로 세지 않는다. 면의 이웃 관계는 반드시 한 변을 공유하는지를 기준으로 판단한다.
학생이 작성할 기록은 길 필요가 없다. 전개도 옆에 다음과 같이 표시한다.
- 기준 면: A
- A와 변을 공유하는 면: B, C, D, E
- A와 마주 보는 면: 네 면 중 접었을 때 A와 변을 공유하지 않는 면
- 꼭짓점만 만나는 관계: 이웃으로 세지 않음
이 기록을 하면 “그림에서 가까워 보인다”와 “접은 뒤 변을 공유한다”를 분리할 수 있다. 전개도에서 면의 크기가 같다는 사실만으로 서로 마주 보는 면을 결정해서도 안 된다. 실제 판단은 연결된 변과 접히는 방향에서 이루어진다.
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면
한 학생이 정육면체 전개도에서 A와 마주 보는 면을 고르는 문제를 풀며, A의 바로 위에 있는 B를 정답으로 선택했다고 하자. 학생은 “위에 있으니까 접으면 반대편으로 간다”고 설명한다. 이때 바로 정답을 알려 주지 않고 A에 표시된 네 변을 손가락으로 짚게 한다. 이어 B가 A와 변을 공유하는지 묻고, A와 B 사이에 다른 면이 있는지 확인하게 한다.
종이로 전개도를 접을 때에는 새 자료를 여러 장 추가하지 않고 한 장을 사용한다. 접기 전에는 같은 변에 같은 색을 칠하고, 접은 뒤에는 실제로 만나는 면의 색을 확인한다. 학생이 면의 번호를 외우는 대신 “A의 오른쪽 변을 따라 B가 세워지고, B의 다음 면이 접히면서 반대편에 놓인다”처럼 과정을 말하게 하면 풀이 근거가 남는다.
전개도 문제에서 각이나 길이, 넓이를 묻는 경우에도 공식부터 쓰지 않는다. 먼저 구해야 할 면과 주어진 조건을 전개도에 표시한다. 어느 면의 한 변이 입체에서 같은 모서리를 이루는지 확인한 뒤 필요한 길이 또는 넓이를 계산한다. 면의 이웃 관계를 잘못 정하면 이후의 겉넓이 계산도 맞을 수 없기 때문이다.
배열을 바꾼 문제로 독립 적용하기
같은 전개도를 접어 다시 맞히는 것으로 학습을 끝내지 않는다. 다음 문제에서는 기준 면의 위치를 바꾸거나, 옆면의 배열을 회전시키거나, 한 면이 위가 아니라 옆으로 연결된 전개도를 제시한다. 학생은 먼저 기준 면을 새로 정하고, 변을 공유하는 면과 마주 보는 면을 다시 표시해야 한다.
검증 문제에는 불필요한 길이와 넓이 정보를 일부 넣을 수 있다. 학생이 모든 숫자를 계산에 넣는 습관이 있다면, 질문이 “A와 마주 보는 면은 무엇인가”일 때 수치 정보는 사용하지 않는다고 표시하게 한다. 반대로 겉넓이를 구하는 문제에서는 필요한 면의 넓이만 골라 식으로 옮긴다.
수업 직후에는 전개도를 접어 설명하고, 다음 날에는 종이 없이 면 번호와 변 표시만으로 답하게 한다. 일주일 뒤에는 전개도의 방향과 배열을 바꾼 문제를 시간 제한 안에 풀게 한다. 이때 답만 맞는지 보지 않고, 기준 면 선정, 변 공유 표시, 마주 보는 면의 근거가 남아 있는지 확인한다. 새로운 배열에서도 이 세 과정을 도움 없이 수행하면 전개도 단원의 해당 오답은 종료 대상으로 판단할 수 있다.