당인동중3수학과외, 완전제곱식의 부호를 바꾸어도 원리로 풀기
학생은 이차식 x²+6x+5 를 보고 곧바로 “앞의 두 항을 묶으면 된다”고 말했지만, 완전제곱식을 만드는 순간 식의 값이 달라지는 것을 놓쳤다. 실제 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
x²+6x+5=(x+3)²+5
전개하면 (x+3)²+5=x²+6x+14이므로 원래 식과 같지 않다. 학생은 x²+6x가 (x+3)²의 일부라는 점은 알아보았지만, 새로 생긴 9를 보정하는 과정을 쓰지 않았다. 완전제곱식은 모양이 비슷한 식으로 바꾸는 절차가 아니라, 같은 값을 유지하도록 더하고 빼는 변형이라는 점에서 출발해야 한다.
6x를 보고 왜 3을 선택하는가
x²+6x에서 x의 계수 6을 2로 나누면 3이 된다. 따라서 x²+6x+9=(x+3)²이다. 원래 식에는 9를 임의로 더할 수 없으므로, 같은 9를 빼서 값의 변화를 없앤다.
x²+6x+5
=x²+6x+9-9+5
=(x+3)²-4
학생에게는 계산 결과만 받아 적게 하지 않고, 각 줄에서 무엇이 보존되는지 말하게 했다. “9를 넣었으니 -9도 함께 넣어서 전체 값은 변하지 않는다”라고 설명한 뒤, 마지막 식을 다시 전개해 x²+6x+5가 되는지 확인하도록 했다. 완전제곱식의 핵심은 괄호를 만드는 데서 끝나지 않고, 보정항까지 관리하는 데 있다.
상수항이 작아지는 것이 아니라 보정항이 생긴다
부호가 바뀐 식에서는 같은 숫자를 기계적으로 쓰면 안 된다. 예를 들어 x²-8x+1에서 학생은 (-4)²을 계산한 뒤 “(x-4)²+1”이라고 적을 수 있다. 그러나 (x-4)²=x²-8x+16이므로 16만큼 커진 식이다. 정확한 변형은 다음과 같다.
x²-8x+1
=x²-8x+16-16+1
=(x-4)²-15
여기서 수정 행동은 간단하지만 분명하다. 먼저 x의 계수를 2로 나눈 수에 부호를 포함해 괄호 안을 정하고, 그 수를 제곱한 값을 같은 줄에 더한 뒤 바로 빼 적는다. 이후 완성된 식을 전개하여 x²항, x항, 상수항을 각각 대조한다. 학생이 “-8을 보고 -4, 그래서 -4를 제곱해서 16”이라고 말할 수 있어야 하며, 숫자만 외워 적는 방식은 허용하지 않았다.
식을 0으로 만드는 문제에서도 같은 원리를 유지하기
완전제곱식은 식의 모양을 바꾸는 데 그치지 않고, 해를 구하는 과정에서도 사용된다. 예를 들어 x²+4x-12=0을 다음처럼 정리할 수 있다.
x²+4x-12=0
x²+4x+4-16=0
(x+2)²=16
이때 학생은 한 번에 x=2만 적으려 했다. 하지만 제곱해서 16이 되는 수는 4와 -4이므로 x+2=±4로 나누어야 한다. 따라서 x=2 또는 x=-6이다. 각각을 원래 식에 대입하면 4+8-12=0, 36-24-12=0이 되어 두 해가 모두 확인된다. 완전제곱식으로 바꾸었다고 해서 해가 자동으로 하나가 되는 것은 아니다.
반대로 x²-10x+7=0에서는
x²-10x+25-25+7=0
(x-5)²=18
이므로 x-5=±√18, 즉 x=5±3√2이다. 학생이 √18을 3√2로 바꾸는 과정에서 부호를 하나만 남기지 않도록, 먼저 “제곱한 값이 18인 두 수”라는 문장으로 확인하게 했다. 식의 숫자와 표현이 달라져도 제곱식 완성, 보정, ±, 대입 검산의 순서는 유지된다.
당인동 생활 리듬에 맞춘 풀이 기록
당인동 주소의 중학교는 확인되지 않았으므로 특정 학교의 시험 경향으로 학습을 단정하지 않았다. 같은 마포구의 경성중학교, 광성중학교, 동도중학교, 상암중학교, 서울여자중학교 등은 해당 지역 소재 학교가 아니라 통학권 참고 범위로만 보았다. 같은 지역 안에서도 학교와 주거지까지의 이동 거리, 귀가 시각에 따라 긴 풀이를 집중할 수 있는 시간이 달라질 수 있어, 학생마다 한 문제를 완성하는 시간과 기록량을 조정했다.
시간이 짧은 날에는 완전제곱식 한 문항을 풀고 전개 검산까지 진행했다. 여유가 있는 날에는 부호가 다른 식, 상수항이 다른 식, 우변이 제곱수가 아닌 식을 차례로 제시했다. 중요한 것은 문제 수가 아니라 학생이 첫 줄에서 계수를 2로 나누고, 더한 수를 즉시 빼며, 마지막에 ±와 검산을 스스로 선택하는지였다.
새로운 표현에서도 첫 행동이 달라지지 않는지 확인하기
마지막에는 식을 바로 주지 않고 “그래프의 식이 y=x²+12x+20으로 주어졌을 때 꼭짓점 형태로 나타내라”는 조건을 제시했다. 학생은 처음에는 12를 그대로 괄호 안에 넣으려 했지만, 계수를 2로 나누어 6을 정한 뒤 다음과 같이 수정했다.
y=x²+12x+20
y=x²+12x+36-36+20
y=(x+6)²-16
이 문제에서는 해를 구하라는 말이 없으므로 불필요하게 ±를 붙이지 않았다. 또 전개하여 원래 식과 일치하는지 확인한 뒤, 꼭짓점의 좌표가 (-6,-16)이라는 것도 식의 형태에서 읽었다. 숫자와 표현이 바뀐 상황에서 필요한 절차를 도움 없이 꺼냈다면, 완전제곱식을 단순한 예시 암기가 아니라 식의 값을 보존하는 변형으로 이해하고 있다고 판단할 수 있다.