신대방중3수학과외, 제곱근 풀이를 근거와 검산으로 바꾸는 연습
학생은 다음 식의 답을 빠르게 적었다.
x²=36이므로 x=6
계산 결과만 보면 자연스러워 보이지만, 이 답은 완전하지 않다. x²=36을 만족하는 수는 6뿐 아니라 -6도 있기 때문이다. 따라서 정확한 풀이는 x=±6이며, 각각 대입하면 6²=36, (-6)²=36이 된다. 신대방 중3수학과외에서는 이처럼 답을 고치는 데서 멈추지 않고, 왜 두 값이 필요한지 설명하고 직접 검산하는 과정까지 풀이의 일부로 다룬다.
√36과 36의 제곱근을 같은 방식으로 읽지 않기
학생이 자주 혼동하는 장면은 √36을 보고 ±6이라고 쓰는 경우다. √36은 6 이상의 음이 아닌 제곱근을 뜻하므로 √36=6이다. 반면 ‘36의 제곱근을 구하라’는 질문은 제곱해서 36이 되는 두 수를 찾는 것이므로 6과 -6, 즉 ±6이다.
풀이를 시작할 때 학생은 문제의 표현에 표시를 한다. √ 기호가 이미 있는지, ‘제곱근을 모두 구하라’고 했는지, 아니면 x²=36처럼 방정식 형태인지 구분하는 것이다. 예를 들어
√49=7
이지만
x²=49이면 x=±7
이다. 같은 숫자 49를 보더라도 구하는 대상이 다르므로 ±의 사용도 달라진다. 학생이 답만 외우지 않도록 “지금 구하는 것은 근호의 값인가, 제곱해서 주어진 수가 되는 x인가?”라고 먼저 말하게 한다.
맞힌 계산 뒤에 대입 한 줄을 붙이는 이유
제곱근 문제에서 풀이 근거가 약한 학생은 √81=9라고 적은 뒤 다음 문제로 넘어간다. 이 계산 자체는 맞지만, 방정식 3x²=75를 풀 때 같은 방식으로 3x=±75처럼 식을 바꾸면 오류가 발생한다. 먼저 계수를 정리해야 한다.
3x²=75
x²=25
x=±5
마지막에는 두 값을 원래 식에 넣는다.
3×5²=75, 3×(-5)²=75
여기서 학생이 해야 할 행동은 ‘검산하기’라는 추상적인 지시가 아니다. x=5와 x=-5를 각각 원래 식에 대입하고, 좌변이 75가 되는지 적는 것이다. 한 값만 대입하면 음의 해를 빠뜨린 오류를 발견하지 못하므로 두 근을 번호로 나누어 확인한다.
근호가 포함된 식에서 먼저 계산 순서를 고정하기
학생이 다음 식을 풀면서 자주 보이는 오답은 다음과 같다.
√12+√27=√39
근호 안의 수를 바로 더한 것이 문제다. 먼저 각각을 완전제곱수와 곱으로 분해해야 한다.
√12+√27=√(4×3)+√(9×3)=2√3+3√3=5√3
수정 행동은 세 단계로 짧게 고정한다. 근호 안에서 완전제곱수를 찾고, 그 제곱근을 근호 밖으로 꺼낸 뒤, 같은 근호끼리만 더한다. √2와 √3처럼 근호 안의 수가 다르면 더할 수 없다. 반대로 2√5+√5는 3√5로 정리할 수 있다.
분모에 근호가 있을 때도 계산을 서두르지 않는다. 예를 들어
1/√3=√3/3
은 분자와 분모에 √3을 곱한 결과다. 학생이 1/√3=1/3이라고 적었다면 분모의 근호를 없애는 과정에서 분자에도 같은 수를 곱해야 한다는 점을 다시 식으로 보여준다.
신대방의 일정 안에서 풀이 근거를 남기는 시간 배치
신대방동에는 대방중학교와 문창중학교가 있으며, 같은 동작구의 강남중학교·강현중학교·국사봉중학교는 참고할 수 있는 학교다. 이 학교들을 신대방 지역 학교로 단정하지 않고, 실제 학생의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 먼저 확인해 계획을 조정한다. 학교 시험 직전에는 새로운 문제를 무작정 늘리기보다, 제곱근 단원에서 학생이 틀린 식 옆에 ‘왜 ±인가’, ‘근호를 합칠 수 있는가’, ‘원래 식에 대입했는가’를 짧게 적게 한다.
신대방경남아파트나 신대방현대아파트처럼 귀가 동선이 다른 생활권에서는 평일 귀가 시간도 학습량을 정하는 기준이 된다. 늦게 귀가한 날에는 제곱근 문제 10개를 푸는 대신, 틀린 두 문제의 첫 오류 줄을 표시하고 두 근을 대입하는 검산까지 완료하도록 한다. 시간이 넉넉한 날에는 √12+√27처럼 근호의 형태가 바뀐 문제를 추가해 같은 원리를 다시 꺼내게 한다.
숫자가 바뀐 문제에서 ±와 검산을 다시 꺼내기
이전 문제를 그대로 다시 풀어 맞힌 것만으로는 이해를 확인하기 어렵다. 다음에는 계수와 부호를 바꾼다.
-2x²= -50
학생이 양변을 -2로 나누면서 부호를 잘못 유지하면 x²=-25라고 적을 수 있다. 그러나 양변을 -2로 나누면 x²=25이고, 따라서 x=±5이다. 두 값을 대입하면
-2×5²=-50, -2×(-5)²=-50
이 된다. 이번에는 숫자 36이나 49를 기억해서 답하는 것이 아니라, 계수를 먼저 정리하고 제곱근의 두 가능성을 확인해야 한다.
또 다른 변형에서는 다음과 같이 구하는 대상을 바꾼다.
√(x+4)=5
학생은 양변을 제곱하여 x+4=25, x=21을 얻은 뒤 원래 식에 대입한다. √25=5이므로 조건에 맞는다. 이 과정에서는 처음부터 ±5라고 쓰지 않는다. √(x+4)는 음이 아닌 값이므로 5와 같다는 식이며, 양변을 제곱한 뒤 x를 구하는 문제이기 때문이다.
수업에서 확인하는 기준은 문제 수가 아니다. 학생이 새로운 식을 보았을 때 구하는 대상과 조건을 먼저 구분하는지, 필요한 경우에만 ±를 쓰는지, 근호의 계산 과정을 생략하지 않는지, 마지막에 원래 식으로 결과를 검산하는지에 있다. 이 네 가지 행동이 도움 없이 이어질 때 제곱근 풀이가 정답 중심에서 근거 중심으로 바뀌었다고 판단할 수 있다.