노량진중3수학과외, 이차방정식 판별식 답 뒤의 조건까지 확인하기
판별식 계산은 맞았는데 답안은 왜 불완전했을까
학생은 다음 문제에서 계산 자체는 정확하게 끝냈다.
이차방정식 x²-6x+9=0이 서로 다른 두 실근을 갖는지 판별하시오.
학생의 답안에는 “D=(-6)²-4×1×9=0이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다”라고 적혀 있었다. 숫자를 대입하는 과정은 맞지만, 마지막 판단이 틀렸다. 판별식이 0이면 두 근이 서로 다른 것이 아니라 중근을 갖는다. 이차방정식의 판별에서 중요한 것은 계산 결과만 얻는 일이 아니라, 그 결과가 어떤 근의 상태를 뜻하는지 조건과 연결하는 것이다.
D의 부호를 근의 개수와 다시 연결하기
이차방정식 ax²+bx+c=0에서 a≠0일 때 판별식은 D=b²-4ac이다. D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 중근, D<0이면 실근이 없다. 학생은 공식을 외우지 않은 것이 아니라, 계산한 0을 ‘두 근이 있다’는 식으로 막연하게 해석하고 있었다.
따라서 풀이를 다음처럼 세 단계로 나누어 적게 했다.
- a, b, c의 값을 식에서 정확히 확인한다.
- D=b²-4ac를 계산한다.
- D의 부호에 맞는 근의 상태를 문장으로 완성한다.
위 문제에서는 a=1, b=-6, c=9이므로 D=(-6)²-4×1×9=36-36=0이다. 따라서 이 방정식은 서로 다른 두 실근이 아니라 중근을 갖는다. 실제로 x²-6x+9=(x-3)²이므로 근은 x=3 하나이며, 중복되어 두 번 나타난다.
마이너스 부호를 식에서 떼어 읽지 않기
다른 문항에서는 학생이 2x²+4x+5=0에 대해 D=4²-4×2×5=-24라고 계산한 뒤 “근이 없으므로 방정식의 해는 -24”라고 적었다. 여기서 -24는 해가 아니라 판별식의 값이다. 판별식은 근 자체가 아니라 근의 존재와 개수를 판단하는 수치라는 점을 구분해야 한다.
수정할 때는 계산 줄 오른쪽에 역할을 짧게 표시하게 했다. “D=-24, 따라서 D<0, 실근 없음”처럼 판별식과 해의 상태를 나누어 쓰는 방식이다. 해를 요구하지 않은 문제라면 여기서 멈추고, 근을 요구한 문제라면 판별식으로 먼저 가능성을 확인한 뒤 근의 공식을 적용한다.
특히 b가 음수인 식에서는 b를 괄호째 옮긴다. 예를 들어 x²-5x+1=0에서 D=(-5)²-4×1×1=21이다. -5²로 읽으면 -(5²)=-25가 되어 전혀 다른 결과가 나온다. 학생에게는 b의 값과 b²를 한 줄에 붙여 쓰지 말고, “b=-5, b²=(-5)²=25”라고 분리하게 했다.
조건이 들어오면 판별식의 범위를 먼저 읽는다
판별식 문제는 계산 결과를 묻는 데서 끝나지 않는다. 예를 들어 x²-2kx+9=0이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 k의 범위를 구하는 경우, 학생은 k에 숫자를 임의로 대입하지 않고 문제의 조건을 D>0으로 바꾸어야 한다.
D=(-2k)²-4×1×9=4k²-36이다. 서로 다른 두 실근이므로
4k²-36>0, 즉 k²>9이다.
따라서 k<-3 또는 k>3이다. 여기서 k=3이나 k=-3은 제외된다. 두 값에서는 D=0이 되어 중근이 되기 때문이다. 학생이 처음에는 k²>9를 k>3으로만 적었지만, 제곱된 수의 범위에서는 음수 쪽도 확인해야 한다. 부호표를 그리거나 수직선에 -3, 3을 표시하면 두 구간을 빠뜨리지 않을 수 있다.
노량진의 이동 시간을 풀이 검증 시간으로 바꾸기
노량진동 주소에 해당하는 중학교 정보는 확인되지 않았으므로 특정 학교의 시험 경향을 단정할 수 없다. 대신 같은 동작구의 강남중학교, 강현중학교, 국사봉중학교, 남성중학교, 대방중학교 등은 해당 지역 학교가 아니라 통학권을 살필 때 참고할 수 있는 학교 자료로 구분한다. 학교 이름을 나열하는 것보다 실제 학습에서는 수업이나 방과후 활동 뒤 이동하고 집에 도착한 다음, 풀이를 다시 확인할 짧은 시간을 정해 두는 편이 효과적이다.
이때 새 문제를 무작정 많이 풀기보다 그날 판별식 문항 한 개를 골라 식의 계수, D의 값, 근의 상태, 문제 조건이 차례로 맞는지 확인한다. 이동 중에는 답을 외우는 대신 “D=0이면 무엇인가?”, “서로 다른 두 실근이면 부등호는 무엇인가?”처럼 판단 기준을 말로 떠올리게 할 수 있다.
정답을 맞힌 뒤 바뀐 수에서도 같은 판단이 나오는가
수정 뒤에는 같은 문제를 다시 쓰게 하지 않고 조건을 바꾼 문항을 제시했다.
이차방정식 3x²-12x+12=0의 근의 종류를 판별하고, 중근을 구하시오.
학생은 a=3, b=-12, c=12를 먼저 적고 D=(-12)²-4×3×12=144-144=0이라고 계산했다. 이어 “D=0이므로 중근”이라고 판단한 뒤, 식을 3(x²-4x+4)=3(x-2)²로 정리하여 중근 x=2를 확인했다. 판별식의 결론과 식의 인수분해 결과가 일치하는지 역으로 확인한 것이다.
마지막으로 계수와 부호를 모두 바꾼 x²+4x+8=0을 제시했다. 학생은 D=4²-4×1×8=-16이므로 실근이 없다고 설명했다. 이번에는 -16을 해로 적지 않았고, D의 부호와 근의 상태를 분리했다. 숫자가 달라져도 먼저 계수를 찾고, 판별식의 부호를 조건과 연결하는 첫 행동이 유지되는지가 독립 적용의 기준이다.
자주 묻는 질문
판별식이 0이면 근이 없는 것인가요?
아니다. 실근은 하나이며 같은 근이 두 번 겹치는 중근이다.
판별식만 구하면 근의 값도 알 수 있나요?
판별식은 근의 종류와 개수를 판단한다. 근의 값이 필요하면 인수분해나 근의 공식을 추가로 사용해야 한다.