동두천중3수학과외, 한 점에서 그은 두 접선의 길이를 검산하는 풀이
접선의 길이는 같다고 썼지만, 왜 그런지 설명하지 못한 답안
“외부의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점이 A, B일 때 PA=PB이다.” 학생은 이 문장을 기억하고 있었지만, 시험지에는 길이만 적고 근거를 쓰지 못했다. 더 어려운 문항에서 PA의 길이를 구하라는 조건이 나오자, 그림에 표시된 숫자를 그대로 더하거나 빼면서 풀이가 흔들렸다.
이 유형의 핵심은 공식을 외워 적는 데 있지 않다. 한 점에서 원에 그은 두 접선이라는 조건을 보고, 중심과 접점을 연결한 뒤 두 직각삼각형을 비교하는 순서를 스스로 꺼내는 데 있다. 동두천여자중학교, 동두천중학교, 생연중학교, 송내중앙중학교, 신흥중학교, 한빛누리중학교의 시험 준비를 하더라도 학교명을 기준으로 문제를 뭉뚱그리기보다, 학생이 귀가한 뒤 실제로 어떤 순서로 도형을 읽고 풀이 근거를 남기는지 확인하는 편이 유용하다.
그림에 보이지 않는 두 개의 직각을 먼저 찾기
학생에게 다음과 같은 상황을 제시했다. 중심이 O인 원 밖의 점 P에서 원에 접선을 그었고, 접점은 A와 B이다. OA=OB=5cm, OP=13cm일 때 PA와 PB를 구하는 문제다.
학생은 먼저 “접선의 길이는 같으니까 PA=PB”라고 쓴 뒤, PA=8cm라고 바로 결론 냈다. 결과는 맞지만 풀이가 완성된 것은 아니다. PA와 PB가 각각 왜 8cm가 되는지, 또 어느 선분을 빗변으로 보았는지가 빠져 있기 때문이다.
접선은 접점에서 그은 반지름과 수직이다. 따라서 OA⊥PA, OB⊥PB이다. 삼각형 OAP와 OBP는 모두 직각삼각형이고, OP는 두 삼각형에 공통인 빗변이다. 또한 OA=OB는 같은 원의 반지름이다.
그러므로 두 직각삼각형은 빗변 OP와 한 변 OA, OB가 각각 같아 합동이다. 이에 대응하는 접선의 길이가 같아 PA=PB가 된다. 숫자를 이용하면 삼각형 OAP에서
PA²=OP²−OA²=13²−5²=169−25=144
이므로 PA=12cm이다. 같은 방식으로 PB=12cm이고, 두 길이는 양의 길이이므로 음의 값을 쓰지 않는다. 학생이 8cm라고 답한 것은 13−5를 적용했기 때문인데, 직각삼각형의 변 관계를 일직선의 차이처럼 처리한 것이 오류의 출발점이었다.
‘두 접선의 길이가 같다’와 ‘각 접선의 길이를 구한다’는 다르다
학생의 첫 풀이를 다시 보게 하자 “PA=PB”라는 결론은 유지하되, 그 앞에 필요한 조건을 적도록 했다.
- 반지름과 접선은 접점에서 수직이다.
- OA와 OB는 같은 원의 반지름이므로 같다.
- OP는 두 직각삼각형의 공통 빗변이다.
- 따라서 두 삼각형이 합동이고 PA=PB이다.
그 다음에야 길이 계산을 붙였다. 이렇게 하면 ‘같다’는 성질과 실제 값을 구하는 계산이 분리된다. 문제에서 PA만 물었을 때는 PB까지 계산하지 않아도 되지만, PA=PB를 이용했다는 근거는 남겨야 한다.
반대로 그림에 PA=7cm라고 이미 표시되어 있고 PB를 구하는 문제라면 피타고라스 정리를 다시 적용할 필요가 없다. 같은 외부점 P에서 그은 접선이라는 조건을 확인한 뒤 PB=PA=7cm라고 쓸 수 있다. 학생은 두 상황을 구분하지 못하고 매번 임의로 뺄셈을 하려 했으므로, 문제를 읽을 때 먼저 ‘구하는 대상’과 ‘주어진 길이’를 표시하게 했다.
중심을 연결하지 않으면 접선의 성질을 사용할 수 없다
다른 문항에서는 원의 중심 O가 그림에 표시되어 있었지만, 학생은 접점 A와 B만 보고 두 접선을 잇는 선분 AB를 먼저 그었다. 이후 AB가 원의 지름이라고 잘못 설명했다. 한 점에서 그은 접선 문제에서 필요한 보조선은 접점과 중심을 잇는 OA, OB이다. AB는 두 접점을 연결한 현일 수 있지만, 접선의 직각 조건을 직접 만들어 주는 선분은 아니다.
따라서 풀이를 시작할 때 다음 세 가지 표시를 순서대로 하게 했다.
- 외부의 한 점 P를 확인한다.
- 접점 A, B에서 중심 O까지 OA, OB를 연결한다.
- 접선과 반지름이 만나는 A, B에 직각 표시를 한다.
이 표시 뒤에는 그림의 모양이 기울어져 있거나 접선이 위아래로 배치되어 있어도 같은 논리를 적용할 수 있다. 접선이 원의 왼쪽과 오른쪽에 놓였는지는 중요하지 않고, 각 접점에서 반지름과 수직인지가 중요하다.
숫자와 배치가 바뀐 문제에서 다시 확인한 풀이
다음에는 중심 O, 외부점 P, 접점 A와 B가 앞의 그림과 반대 방향으로 놓인 문제를 제시했다. OP=17cm, OA=8cm이고 PA를 구하는 조건이었다. 학생은 이번에는 먼저 OA⊥PA를 표시하고, 삼각형 OAP를 직각삼각형으로 분류했다.
PA²=OP²−OA²=17²−8²=289−64=225
따라서 PA=15cm이다. 이어서 “OB도 같은 원의 반지름이므로 8cm이고, OP가 공통인 빗변이므로 삼각형 OAP와 OBP가 합동이다. 그래서 PB=15cm이다.”라고 설명했다. 단순히 앞 문제의 12cm를 기억해 적은 것이 아니라, 숫자가 바뀌었을 때도 반지름과 빗변을 구분해 계산한 것이다.
검산은 PA²+OA²=15²+8²=225+64=289=OP²로 진행했다. 학생이 답을 적은 뒤 이 등식을 직접 확인하면, 접선 길이를 OP−OA로 처리했는지와 제곱근 계산에서 실수했는지를 함께 잡아낼 수 있다. 길이는 15cm이므로 −15cm를 답으로 선택하지 않는다는 점도 확인했다.
귀가 뒤 짧은 풀이 점검으로 시험 준비 순서 세우기
지행동이나 지행역부영9단지 등 생활권에서 귀가하는 학생이라면, 긴 학습량을 계획하기보다 그날 학교 과제와 시험 대비 문항에서 풀이 근거가 끊긴 지점을 먼저 확인하는 방식이 현실적이다. 이 단원에서는 문제를 많이 푸는 것보다 한 문항의 그림에 중심-접점 연결, 직각 표시, 공통 빗변 확인이 모두 남아 있는지 점검하는 순서가 중요하다.
예를 들어 과제량이 많은 날에는 새 문제를 여러 개 추가하기보다 학생이 틀린 한 문항을 골라 다음 네 줄을 완성하게 할 수 있다.
- OA와 OB는 원의 반지름이므로 서로 같다.
- OA와 PA, OB와 PB는 각각 수직이다.
- OP는 두 직각삼각형의 공통 빗변이다.
- 따라서 PA=PB이며, 필요한 경우 피타고라스 정리로 길이를 계산한다.
이후 숫자만 바꾼 문항에서 같은 네 줄을 그대로 복사하지 않고, 실제 도형에 맞는 선분 이름을 다시 쓰게 한다. 접점의 이름이 C, D로 바뀌거나 구하는 대상이 PB로 바뀌어도 중심과 접점을 연결하고 직각을 찾는 첫 행동이 유지되는지 보는 것이다.
두 접선의 길이를 이용한 합과 둘레 문제
한 점 P에서 그은 두 접선의 길이만 묻는 문제가 아니라, 원의 둘레 일부나 삼각형의 둘레를 함께 구하는 문항에서도 같은 성질이 사용된다. 예를 들어 PA=9cm이고 PB도 P에서 원에 그은 접선이라면 PB=9cm이다. 이때 두 접선의 합은 18cm이며, 여기에 현 AB나 다른 선분의 길이를 더할 때는 각각의 선분을 구분해야 한다.
학생은 이전에 PA=PB라는 식을 쓴 뒤 PA+PB=PA라고 줄여 쓰는 실수를 했다. 같은 두 선분이라는 뜻이지, 두 선분을 더한 값이 하나의 선분과 같다는 뜻은 아니다. 수정할 때는 PA=PB=9cm라고 먼저 적고, PA+PB=9+9=18cm로 계산하게 했다. 등식의 의미와 덧셈의 의미를 분리하자 둘레 문제에서도 같은 오류가 줄었다.
최종 확인 문제에서는 접선 두 개가 서로 대칭처럼 보이지 않는 그림을 사용하고, 중심 O를 그림 아래쪽에 배치했다. 학생은 그림의 대칭 여부를 근거로 삼지 않고 “접점에서 반지름과 접선이 수직이고, 두 반지름과 공통 빗변을 이용할 수 있으므로 두 접선의 길이가 같다.”라고 설명했다. 새로운 배치에서도 필요한 성질을 도움 없이 꺼냈다면, 정답을 외운 것이 아니라 한 점에서 그은 두 접선의 구조를 이해한 것으로 판단할 수 있다.