동대문중3수학과외, 풀이 근거와 검산으로 x²+bx+c 인수분해 다시 보기
x²+bx+c에서 곱만 맞추면 풀이가 끝난 것이 아니다
학생이 다음 식을 보고 적은 답은 (x+3)(x+4)였다.
x²+7x+12
전개하면 x²+7x+12가 되므로 이 답은 정확하다. 그러나 풀이 과정에는 “12가 되는 두 수를 찾았다”는 메모만 있고, 왜 가운데 항이 7x가 되는지 설명이 없었다. 다음 문제에서 상수항이 음수로 바뀌자 학생은 두 수의 부호를 정하지 못하고 12와 15를 번갈아 대입했다. 정답을 기억해 내는 방식으로 풀었기 때문에 식의 모양이 조금 달라지자 첫 단계부터 멈춘 것이다.
동대문중3수학과외에서는 x²+bx+c 인수분해를 단순히 두 수를 맞히는 계산으로 끝내지 않는다. 어떤 두 수를 선택했는지, 그 수의 곱과 합이 각각 식의 어느 항을 만드는지, 마지막에 다시 전개했을 때 원식으로 돌아오는지를 한 흐름으로 확인한다.
상수항의 곱과 가운데 계수의 합을 한 번에 연결하기
x²의 계수가 1인 식
x²+bx+c
를 (x+m)(x+n)으로 나타내면 전개 결과는 다음과 같다.
(x+m)(x+n)=x²+(m+n)x+mn
따라서 찾아야 할 두 수는 임의의 숫자가 아니라 다음 조건을 동시에 만족해야 한다.
- m×n=c
- m+n=b
학생이 x²+7x+12에서 3과 4를 고른 근거는 3×4=12이고 3+4=7이기 때문이다. 이 두 조건을 식 옆에 직접 적게 하면 ‘곱이 맞는 숫자’를 찾은 뒤 합을 확인하지 않는 행동을 줄일 수 있다.
반대로 x²+9x+20에서 4와 5를 선택했다면 곱은 20, 합은 9이므로 (x+4)(x+5)가 된다. 학생은 처음에 2와 10도 곱이 20이라는 이유로 적었지만, 합이 12이므로 가운데 항 9x를 만들 수 없다. 이때 틀린 답을 지우는 데 그치지 않고 ‘곱 조건은 통과했지만 합 조건에서 탈락했다’고 표시하게 한다.
부호가 바뀐 식에서는 상수항부터 살펴본다
가장 오래 멈춘 문제는 다음 식이었다.
x²-x-12
학생은 3과 4를 찾은 뒤 (x+3)(x+4)라고 썼다. 두 수의 곱이 12라는 사실만 보고 부호를 붙인 것이다. 하지만 상수항이 -12이므로 두 수의 부호는 서로 달라야 한다. 합이 -1이 되려면 -4와 3을 선택해야 한다.
x²-x-12=(x-4)(x+3)
학생이 부호를 안정적으로 정하도록 풀이 칸을 세 부분으로 나누었다.
- 상수항 c를 확인하고 두 수의 곱을 정한다.
- c가 양수인지 음수인지 보고 두 수의 부호를 정한다.
- 두 수의 합이 b가 되는지 확인한 뒤 괄호에 넣는다.
특히 c가 음수이면 두 수의 부호가 반드시 다르다. x²+2x-15에서는 곱이 -15이므로 5와 -3을 비교하고, 합이 2가 되는지 확인한다. 따라서
x²+2x-15=(x+5)(x-3)
이다. 학생은 처음에 (x-5)(x+3)을 썼는데 곱은 -15지만 합이 -2라서 가운데 항의 부호가 반대가 된다. 이 차이를 숫자만 다시 외우게 하지 않고, 전개에서 x항이 m+n으로 생긴다는 사실과 연결했다.
틀린 괄호를 고칠 때는 다시 전개한다
인수분해 결과를 적은 뒤 곧바로 다음 문제로 넘어가는 습관도 확인했다. 그래서 수정 과정에서는 정답 괄호를 보는 대신 학생이 직접 전개하도록 했다.
(x-4)(x+3)
를 전개하면
x²+3x-4x-12=x²-x-12
가 된다. 이 계산에서 x항은 3x와 -4x를 합친 -x이고, 상수항은 (-4)×3=-12이다. 두 항의 부호를 각각 확인하면 인수분해가 우연히 맞았는지 검산할 수 있다.
검산표에는 다음 네 가지를 적게 했다.
- x²항이 그대로 나오는가
- 두 괄호의 숫자를 더했을 때 bx가 되는가
- 두 숫자를 곱했을 때 c가 되는가
- 원래 식의 부호와 항이 모두 일치하는가
이 과정을 거치면 (x+6)(x-2)를 적고도 x항을 4x가 아니라 8x로 잘못 읽는 실수가 바로 드러난다. 실제 전개는 x²+4x-12이므로, 원식이 x²-4x-12였다면 괄호의 부호를 다시 바꿔야 한다.
동대문 지역의 이동 시간을 풀이 루틴에 맞추기
동대문구에는 경희여자중학교, 경희중학교, 대광중학교, 동국대학교사범대학부속중학교, 동대문중학교, 성일중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 답십리·신설동·용두동·이문동·장안동·전농동의 모든 학생과 같은 통학권으로 단정할 수는 없다. 고려대역이나 동부아파트, 쌍용아파트처럼 생활권별 이동 지점도 다르므로 실제 수업 시간을 정할 때는 학교에서 집 또는 학원까지 걸리는 시간과 방과후 이동 뒤 남는 자습시간을 먼저 확인하는 편이 현실적이다.
예를 들어 이동 후 40분만 확보되는 날에는 새로운 유형을 많이 풀기보다, 학교 프린트에서 틀린 x²+bx+c 두 문항을 꺼내 곱·합 조건과 전개 검산까지 완료하게 한다. 이동이 짧은 날에는 부호가 다른 식을 한 문항 추가해 같은 풀이 절차를 유지하는 방식으로 조정한다. 중요한 것은 문제 수가 아니라 풀이 근거를 남길 수 있는 시간이다.
숫자와 식의 모양을 바꿔 독립적으로 확인하기
며칠 뒤 학생에게 앞서 풀었던 x²-x-12를 그대로 주지 않고 다음 식을 제시했다.
x²-5x-24
학생은 먼저 상수항이 -24이므로 부호가 다른 두 수를 찾아야 한다고 말했다. 3과 -8의 곱은 -24이고 합은 -5이므로
x²-5x-24=(x-8)(x+3)
이라고 적었다. 이어 x²+3x-8x-24를 계산해 가운데 항이 -5x가 되는지 확인했다.
이번에는 괄호의 순서를 바꾸어 (x+3)(x-8)로 써도 같은 식이라는 점도 설명했다. 답의 모양이 달라 보여도 두 수의 곱과 합, 전개 결과가 같으면 동일한 인수분해라는 기준을 사용한 것이다. 도움 없이 상수항의 부호를 먼저 보고, 합 조건을 확인하고, 전개로 되돌아간다면 x²+bx+c의 인수분해를 답 암기가 아닌 근거 있는 풀이로 적용하고 있다고 판단할 수 있다.