제기동중1수학과외, 히스토그램을 막대그래프처럼 읽는 오답 줄이기
“가장 높은 막대가 6점이므로 6점인 학생이 가장 많다.” 히스토그램을 처음 접한 중1 학생이 자주 적는 답이다. 그러나 가로축이 점수 하나하나가 아니라 ‘점수 구간’이라면 이 문장은 정확하지 않을 수 있다. 예를 들어 가로축이 0 이상 10 미만, 10 이상 20 미만처럼 나뉘어 있다면 막대의 높이는 특정 점수의 학생 수가 아니라 해당 구간에 포함된 자료의 개수다.
제기동에는 성일중학교와 정화여자중학교가 있고, 동대문구 안에는 경희여자중학교·경희중학교·대광중학교 등이 있다. 다만 학교별 학교자료의 형식과 주간 일정은 다를 수 있으므로, 어느 학교나 같은 방식으로 출제된다고 단정하기보다 학생이 실제로 받은 프린트와 수행평가 자료에서 히스토그램을 읽는 과정을 확인하는 편이 안전하다.
막대의 높이보다 먼저 확인할 것
막대그래프는 보통 서로 구분되는 항목을 비교한다. 반면 히스토그램은 수치 자료를 일정한 구간으로 나누어 각 구간의 도수를 나타낸다. 따라서 학생은 막대의 높이를 보기 전에 세 가지를 읽어야 한다.
- 가로축이 어떤 자료를 얼마의 간격으로 나누었는가
- 세로축이 도수인지 상대도수인지 무엇을 나타내는가
- 막대가 나타내는 구간의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝 중 어느 값을 포함하는가
예를 들어 점수 자료를 다음과 같이 정리했다고 하자.
- 40 이상 50 미만: 3명
- 50 이상 60 미만: 5명
- 60 이상 70 미만: 8명
- 70 이상 80 미만: 4명
이때 가장 높은 막대는 60 이상 70 미만 구간이다. “60점인 학생이 8명”이라고 쓰면 안 되고, “60점 이상 70점 미만인 학생이 8명”이라고 읽어야 한다. 70점은 다음 구간에 들어가므로 경계값도 확인해야 한다.
실제 오답은 숫자가 아니라 구간을 놓치는 데서 나온다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학교 프린트의 히스토그램에서 세로축 0, 2, 4, 6, 8을 확인한 뒤 가장 높은 막대를 가리키며 “8점”이라고 답했다. 학생은 막대 높이 8을 자료값으로 읽고, 가로축의 60 이상 70 미만은 단순한 눈금으로 처리했다. 또 “70점 이상인 학생 수”를 묻는 문제에서는 70 이상 80 미만 막대의 도수만 골라야 하는데, 60 이상 70 미만 막대까지 더했다.
이런 경우 단순히 히스토그램 문제를 여러 권 풀게 하기보다 오답 한 장에서 읽기 순서를 고정한다. 먼저 가로축의 구간을 네모로 묶고, 각 막대 위에 ‘구간’이라고 적는다. 다음으로 세로축의 단위를 확인한 뒤 막대 높이를 도수로 옮긴다. 마지막으로 질문 속 조건에 밑줄을 긋는다. ‘60 이상’, ‘70 미만’, ‘70 이상’처럼 경계 표현을 표시하면 어느 막대를 포함해야 하는지 판단하기 쉬워진다.
표와 그래프를 오가며 확인하는 훈련
학생이 직접 다음 표를 먼저 읽게 한다.
- 10 이상 20 미만: 2명
- 20 이상 30 미만: 6명
- 30 이상 40 미만: 5명
- 40 이상 50 미만: 3명
그 뒤 표의 각 구간을 가로축에 옮기고, 도수를 세로축 높이로 표시해 히스토그램을 완성한다. 완성 후에는 “20 이상 40 미만인 자료의 수”를 묻는다. 20 이상 30 미만과 30 이상 40 미만을 합하여 6+5=11명이라고 답해야 한다. 반대로 “가장 많은 구간”을 묻는다면 도수가 6인 20 이상 30 미만을 고른다. 질문이 ‘구간’인지 ‘자료의 수’인지 구분하는 과정이 핵심이다.
가로축 구간의 폭이 같지 않은 자료를 무조건 일반적인 히스토그램 막대 높이로 비교해서는 안 된다. 학교자료에서 구간의 폭과 세로축의 의미가 다르게 제시되었다면 축의 설명과 단위를 먼저 확인해야 한다. 중1 과정에서는 대부분 같은 폭의 계급을 다루지만, 그림에 별도 안내가 있다면 그 조건을 우선 적용해야 한다.
다음 문제에서 독립적으로 적용되는지 확인하기
같은 표를 곧바로 다시 풀게 하는 것으로 점검을 끝내지 않는다. 다음에는 구간을 0 이상 10 미만, 10 이상 20 미만처럼 바꾸고, 세로축 눈금을 1명 단위가 아닌 2명 단위로 제시한다. 학생은 막대의 높이가 4칸이라고 해서 도수를 4명으로 쓰지 않고, 세로축 눈금이 2명임을 확인해 8명으로 읽어야 한다.
그 다음에는 그래프를 90도 회전한 그림이나 막대 사이의 간격이 거의 보이지 않는 자료로 바꾸고, “30 이상인 자료의 수”, “20 미만인 자료의 상대도수”처럼 질문 표현도 바꾼다. 이때 학생이 가로축의 구간을 다시 표시하고, 각 도수를 표에 옮긴 뒤 합계와 비교하는지 확인한다. 도수의 합이 전체 자료 수와 맞는지도 검산한다.
다음 날에는 학교 프린트의 새로운 히스토그램을 시간 제한 안에 풀게 하고, 일주일 뒤에는 표만 보고 그래프를 설명하게 한다. 최종 기준은 막대의 높이를 빠르게 말하는 것이 아니라, 구간·축의 단위·질문의 조건을 근거로 “어느 구간의 몇 명인지” 문장으로 설명하는 것이다. 제기동중1수학과외에서도 문제집 권수보다 학교자료를 도움 없이 읽고 표와 그래프의 의미를 연결하는지를 중심으로 학습 상태를 점검할 수 있다>