“이니까 답은 맞아요.” 전농동의 한 중3 학생은 인수분해 문제를 이렇게 설명한 뒤 풀이를 끝냈다. 실제로 전개하면 이므로 답은 맞지 않다. 그런데 학생은 마지막 두 수의 곱이 6이라는 점만 확인하고, 가운데항의 계수 5까지 검산하지 않았다.
맞힌 답보다 먼저 확인해야 할 두 가지
인수분해는 곱셈공식을 거꾸로 사용하는 과정이다. 따라서 결과를 적은 뒤에는 반드시 다시 전개하여 원래 식으로 돌아오는지 확인해야 한다. 예를 들어
에서는 곱이 6이고 합이 5인 두 수를 찾아야 한다. 2와 3을 사용하면
이 된다. 전개하면 이므로 두 조건이 모두 일치한다. 학생에게 “왜 2와 3을 골랐는가?”라고 물었을 때 “6이 되니까요”라고만 답한다면 아직 풀이의 절반만 확인한 상태다. 곱은 상수항을, 합은 가운데항의 계수를 결정한다는 관계를 말하고 식으로 확인해야 한다.
곱만 맞추는 습관이 만든 오답
학생의 공책에는 다음과 같은 풀이도 있었다.
이 식은 전개하면 이므로 정확하다. 반면 라고 쓰면 상수항 12는 맞지만 가운데항이 가 된다. 부호가 있는 인수분해에서는 두 수의 곱뿐 아니라 합의 부호까지 함께 살펴야 한다. 학생이 숫자만 찾고 부호를 마지막에 붙이는 방식으로 풀었다면, 먼저 원래 식의 가운데항과 상수항에 표시를 하게 했다. 곱이 양수이고 합이 음수이므로 두 수 모두 음수라는 판단을 말한 뒤 , 를 선택하는 식이다.
전개식의 가운데항을 직접 만들어 보기
수정 과정에서 학생은 정답 인수만 외우지 않고, 두 괄호를 곱해 가운데항이 어떻게 만들어지는지 손으로 적었다.
이 관계에 , 을 대응시키면 2와 3이 자연스럽게 정해진다. , 을 각각 확인한 뒤 괄호를 작성한다. 이 순서를 지키면 곱은 맞지만 합이 다른 수를 고르는 오류를 줄일 수 있다.
상수항이 없는 경우에도 같은 성질을 적용한다. 예를 들어
에서는 먼저 모든 항에 공통으로 들어 있는 를 묶는다. 학생은 처음에 까지만 쓰고 멈췄지만, 괄호 안에도 가 공통으로 있으므로 다시 묶어야 한다. 수정 후에는 결과를 전개하여 가 되는지 확인했다. 이때 “인수분해가 끝났는가?”를 판단하는 기준은 괄호의 모양이 아니라, 더 이상 공통인수를 묶거나 곱셈공식으로 바꿀 수 없는지에 둔다.
전농동 학습 일정에 맞춘 확인 지점
전농동에는 동대문중학교, 전농중학교, 전일중학교가 있으며, 같은 동대문구의 참고 학교로 경희여자중학교와 경희중학교가 있다. 이 학교들을 전농동 소재 학교로 혼동하지 않고, 실제 자녀의 학교 수업 진도와 과제량을 기준으로 확인 범위를 정하는 편이 안전하다. 전농삼성아파트와 전농우성아파트 등 생활권에서 통학하는 학생이라면 귀가 후 바로 많은 문제를 풀기보다, 그날 학교에서 다룬 인수분해 식 두세 개를 골라 ‘선택한 두 수의 합과 곱’, ‘전개 검산’까지 기록하게 하는 방식이 효율적이다.
시험 직전에는 문제 수를 늘리기보다 풀이 순서를 점검한다. 과제량이 많은 날에는 공통인수 묶기와 완전제곱식처럼 현재 수업에서 다룬 형태를 먼저 확인하고, 다음 날 짧은 시간에 전개 검산만 따로 실시할 수 있다. 학교 선택이나 지역의 학교 수만으로 준비 순서를 정하기보다, 자녀가 몇 시에 귀가하고 어느 유형에서 검산을 생략하는지 살펴야 한다.
같은 유형이 아닌 변형식에서 다시 확인하기
다음 학습에서 학생에게 을 제시하자 처음에는 앞의 계수 2를 보지 않고 을 적었다. 이 식은 전개하면 이 되어 원래 식과 다르다. 이번에는 앞뒤 항을 곱해 6을 만들고, 합이 7이 되는 두 수 6과 1을 찾도록 했다.
마지막에는 으로 역검산했다. 숫자와 식의 형태가 바뀌었지만 학생은 도움 없이 먼저 앞항과 상수항의 곱을 확인하고, 가운데항을 나누어 만든 뒤 전개까지 수행했다. 정답을 기억한 것이 아니라 인수분해의 조건을 새 식에 다시 적용한 장면이다.
인수분해를 끝냈다는 표시는 괄호를 쓴 순간이 아니라, 두 인수의 곱을 다시 전개했을 때 원래 식의 각 항과 정확히 일치하는 순간이다.