이문동중3수학과외, ax²+bx+c 인수분해를 변형 문제에서도 이어 가는 법
학생이 다음 식을 보고 연습장에 먼저 적은 것은 “곱해서 12, 더해서 7이니까 (x+3)(x+4)”였다.
하지만 식이 x²+7x+12라면 이 방법은 정확하다. 문제는 앞에 계수가 붙은 ax²+bx+c 형태로 바뀌었을 때 같은 방식으로 숫자 두 개만 찾으려 한다는 데서 시작된다. 예를 들어 2x²+7x+3을 보고 2x²를 그대로 둔 채 3과 1을 골라 (2x+3)(x+1)이라고 쓰는 학생이 있다. 실제 전개 결과는 2x²+5x+3이므로 가운데항이 달라진다.
가운데항을 맞추는 두 곱을 먼저 만든다
2x²+7x+3에서는 첫항과 상수항의 곱을 계산해 2×3=6으로 만든다. 곱이 6이고 합이 7인 두 수는 6과 1이다. 따라서 가운데항 7x를 6x+x로 나누어 적는다.
2x²+7x+3=2x²+6x+x+3
앞의 두 항과 뒤의 두 항을 각각 묶으면 2x(x+3)+(x+3)이 되고, 공통인수 x+3을 꺼내어 (2x+1)(x+3)을 얻는다. 학생이 해야 할 일은 숫자를 감으로 배치하는 것이 아니라, 곱과 합의 조건을 동시에 확인하는 것이다.
첫항의 계수와 상수항의 곱을 만든 뒤, 그 곱과 가운데항의 계수를 동시에 만족하는 두 수를 찾는다.
부호가 바뀌면 곱과 합의 방향부터 확인한다
부호가 있는 식에서 학생은 숫자만 찾고 부호를 나중에 붙이려 한다. 3x²-10x-8에서는 첫항 계수와 상수항의 곱이 -24이고, 합이 -10이어야 한다. 두 수는 -12와 2이므로 가운데항을 -12x+2x로 나눈다.
3x²-10x-8=3x²-12x+2x-8
=3x(x-4)+2(x-4)
=(3x+2)(x-4)
여기서 -12와 2를 선택한 근거는 단순히 24의 약수라는 데 있지 않다. 곱이 -24이므로 부호가 서로 달라야 하고, 합이 -10이므로 절댓값이 큰 수에 음수가 붙어야 한다. 이 판단을 말로 설명하지 못하면 비슷한 식에서 다시 같은 오류가 나타난다.
맞아 보이는 인수분해도 전개로 확인한다
학생이 (3x+2)(x-4)를 답안에 적은 뒤 바로 다음 문제로 넘어가려 할 때, 마지막에 전개 검산을 넣는다. 3x·x=3x², 3x·(-4)=-12x, 2·x=2x, 2·(-4)=-8이므로 가운데항은 -10x가 된다. 원래 식과 x²항, x항, 상수항이 모두 일치해야 정답으로 처리한다.
반대로 (3x-2)(x+4)처럼 부호가 다른 결과를 썼다면 전개했을 때 3x²+10x-8이 된다. 이 경우 계산을 처음부터 모두 다시 하는 대신, 어느 항이 원식과 달라졌는지 먼저 표시한다. 인수분해 결과의 두 괄호를 곱해 가운데항만 비교하는 습관이 오답 수정 시간을 줄여 준다.
이문동의 생활 리듬에 맞춰 짧은 변형 구간을 둔다
이문동삼익아파트나 이문동쌍용아파트처럼 주거지에서 학교와 학원까지 이동하는 시간이 서로 다를 수 있는 생활권에서는 모든 학생에게 같은 문제량을 정하기보다, 풀이가 끊기는 지점을 기준으로 학습 구간을 나누는 편이 현실적이다. 이문동 주소에 소재한 중학교는 제공 자료에서 확인되지 않으므로 특정 학교의 시험 경향으로 단정하지 않고, 같은 동대문구의 경희여자중학교·경희중학교·대광중학교·동국대학교사범대학부속중학교·동대문중학교 등을 통학권 참고 범위로만 본다.
귀가가 늦은 학생은 한 번에 많은 식을 풀기보다 ‘곱과 합 찾기-가운데항 분해-전개 검산’ 세 행동이 들어간 두 문항을 완성하게 한다. 시간이 비교적 일정한 학생은 같은 원리를 유지하되 계수와 부호를 바꾼 식을 이어서 제시한다. 중요한 것은 문제 수가 아니라 변형된 식에서도 첫 행동을 스스로 꺼내는지 확인하는 것이다.
식의 모양이 달라져도 첫 줄을 바꾸지 않는다
다음 문제는 6x²+x-2이다. 학생이 앞선 문제의 숫자를 기억해 답을 고르는지 보지 않기 위해 식의 계수와 가운데항을 모두 바꾼다. 6×(-2)=-12이고, 곱이 -12이면서 합이 1인 두 수는 4와 -3이다.
6x²+x-2=6x²+4x-3x-2
=2x(3x+2)-(3x+2)
=(2x-1)(3x+2)
학생이 도움 없이 “-12를 만들고 합이 1인 4와 -3을 찾겠다”고 말한 뒤, 공통괄호를 확인하고 마지막에 전개까지 했다면 이전 식의 정답을 외운 것이 아니라 절차를 새 조건에 적용한 것으로 본다. 만약 4와 3을 모두 양수로 적었다면 곱의 부호부터 다시 확인하게 하고, 괄호를 억지로 맞추어 주지 않는다.
인수분해가 되지 않을 때도 판단을 끝까지 기록한다
모든 ax²+bx+c가 정수 두 수로 바로 인수분해되는 것은 아니다. 예를 들어 2x²+3x+5에서는 첫항 계수와 상수항의 곱이 10이고, 합이 3인 정수쌍이 없다. 이때 학생이 숫자를 계속 바꾸며 괄호를 만드는 것은 새로운 오류로 이어진다. 곱과 합을 만족하는 정수쌍이 없다는 사실을 적고, 해당 문제에서 학교 수업이 요구한 다른 풀이 방식이 있는지 확인해야 한다.
따라서 독립 확인 문제에는 인수분해가 되는 식과 바로 정수 인수분해되지 않는 식을 함께 섞는다. 학생이 모든 식에 괄호를 만들려 하지 않고, 첫항 계수와 상수항의 곱, 필요한 합, 부호를 차례로 확인한다면 변형 문제에 대한 판단도 함께 자라고 있는 것이다.