답십리중3수학과외, x²+bx+c 인수분해의 숫자와 부호를 다시 읽는 연습
학생이 다음 식을 보고 바로 답을 적었다.
x²+7x+12=(x+3)(x+4)
답 자체는 맞았다. 그러나 풀이를 이어 가자 식이 조금 바뀌는 순간 손이 멈췄다.
x²-7x+12
이번에는 앞의 식에서 사용한 3과 4를 그대로 가져와 (x+3)(x+4)라고 적었다. 숫자는 기억했지만, 두 수의 곱과 합이 각각 어떤 항을 만들어 내는지 확인하지 않은 것이다. x²+bx+c 형태의 인수분해에서 중요한 것은 숫자 두 개를 외우는 일이 아니라, 두 수의 곱이 c가 되고 합이 b가 되는 조건을 동시에 찾는 과정이다.
곱 12와 합 7을 함께 만족하는 수 찾기
x²+7x+12를 인수분해할 때는 다음처럼 조건을 나누어 적는다.
- 두 수의 곱: 12
- 두 수의 합: 7
12를 만드는 정수쌍은 1과 12, 2와 6, 3과 4이다. 이 가운데 합이 7인 쌍은 3과 4이므로
x²+7x+12=(x+3)(x+4)
가 된다. 전개하면 x²+4x+3x+12=x²+7x+12이므로 중간항의 계수까지 확인할 수 있다. 학생에게는 답을 말하게 하기보다 “내가 고른 두 수의 곱은 마지막 항과 같은가?”, “합은 가운데 항의 계수와 같은가?”를 차례로 묻게 했다.
이때 숫자만 보고 고르는 습관을 줄이기 위해 식 옆에 곱과 합을 짧게 표시하게 했다. 인수분해 결과를 적은 뒤 다시 전개하는 행동도 빠뜨리지 않도록 했다. 이미 정답을 맞힌 문제라도 재전개에서 중간항이 달라지면 즉시 선택한 수를 되돌아볼 수 있기 때문이다.
부호가 바뀌면 두 수의 부호도 다시 판단한다
x²-7x+12에서는 곱이 양수이므로 두 수의 부호가 같아야 한다. 그런데 합이 -7이므로 두 수 모두 음수여야 한다. 따라서
x²-7x+12=(x-3)(x-4)
이다. 전개하면 x²-4x-3x+12=x²-7x+12가 된다. 앞의 식과 숫자는 같지만 가운데 항의 부호가 달라졌으므로 괄호의 부호도 달라진다.
학생은 처음에 “12를 만드는 수는 3과 4”라고만 설명했다. 이 설명에는 왜 더하기인지 빼기인지 판단하는 근거가 없었다. 그래서 숫자를 찾은 다음에는 반드시 “곱이 양수이고 합이 음수이므로 둘 다 음수”라고 말하게 했다. 계산보다 설명을 먼저 붙이면 부호를 앞 식에서 복사하는 행동이 줄어든다.
곱이 음수일 때는 서로 다른 부호를 확인한다
다음 식에서는 이전과 다른 판단이 필요하다.
x²+2x-15
두 수의 곱은 -15이므로 부호가 서로 달라야 한다. 15를 만드는 3과 5 중 합이 2가 되는 조합은 5와 -3이다. 따라서
x²+2x-15=(x+5)(x-3)
이다. 전개 결과는 x²-3x+5x-15=x²+2x-15이다.
이 문제에서 학생이 처음 한 행동은 -15의 부호를 무시하고 3과 5를 모두 양수로 적는 것이었다. 수정할 때는 숫자쌍을 찾기 전에 마지막 항의 부호에 동그라미를 치게 했다. 곱이 음수인지 양수인지 먼저 확인하고, 그다음 합의 부호로 큰 수의 부호를 결정하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
표현이 달라져도 같은 조건을 꺼내기
인수분해가 식으로만 제시되지 않는 경우도 확인했다. 예를 들어 넓이가 다음과 같이 표현된 직사각형의 두 변을 묻는 문제에서는
x²+9x+20
학생이 곧바로 4와 5를 떠올리는 데는 성공했지만, 왜 변의 길이가 x+4와 x+5인지 설명하지 못했다. 20을 만드는 두 수 가운데 합이 9인 수가 4와 5이므로 넓이는
(x+4)(x+5)
로 나타난다고 연결해서 말하게 했다. 그림이 등장해도 새로운 방법을 쓰는 것이 아니라, 곱은 상수항, 합은 x의 계수라는 같은 원리를 적용하는 것이다. 다만 길이를 나타내는 식이라면 x가 어떤 값에서 양수가 되는지 문제의 조건도 함께 읽어야 한다. 식을 인수분해하는 것과 그림의 길이로 해석하는 것을 섞어 단정하지 않고, 주어진 조건 안에서 가능한 표현인지 확인했다.
답을 맞힌 뒤 전개 검산까지 해야 하는 이유
학생의 두 번째 오답은 다음과 같았다.
x²+8x+15=(x+3)(x+5)
이 식도 맞는 답이지만, 학생은 “3과 5를 찾았으니 끝”이라고 생각했다. 실제 시험에서는 x²+8x+16처럼 숫자 하나가 바뀌거나 x²-8x+15처럼 부호가 바뀔 수 있다. 따라서 인수분해 결과를 쓴 뒤 두 괄호의 곱을 다시 전개해야 한다. (x+3)(x+5)는 x²+8x+15가 되지만, (x+4)(x+4)는 x²+8x+16이 된다. 곱과 합을 각각 확인하면 비슷한 숫자에서 생기는 혼동을 줄일 수 있다.
답십리동에서 숭인중학교와 장평중학교의 학교생활을 이어 가는 학생이라면 수업 뒤 이동 시간과 과제 시간을 함께 고려해 이 확인 절차를 짧게 고정할 필요가 있다. 답십리래미안미드아파트 등 생활권에서 학교와 학원 사이 이동이 있는 날에는 많은 문항을 푸는 것보다, 한두 문제를 풀고 ‘곱 확인→합 확인→재전개’까지 끝내는 방식이 실제 학습 시간을 관리하기 쉽다. 경희여자중학교, 경희중학교, 대광중학교는 같은 동대문구의 통학권 참고 학교이며 답십리동 소재 학교로 구분해 설명하지 않는다.
새 숫자와 다른 표현에서 독립적으로 확인하기
마지막에는 앞에서 다룬 식을 그대로 반복하지 않고 다음 문제를 제시했다.
x²-x-20
학생은 먼저 “곱이 -20이므로 부호가 다르다”고 말했다. 이어 4와 -5의 곱이 -20이고 합이 -1임을 확인한 뒤
x²-x-20=(x+4)(x-5)
라고 적었다. 전개하여 x²-5x+4x-20=x²-x-20이 되는 것도 스스로 확인했다.
이어 그림 대신 “두 수의 곱이 -24이고 합이 2가 되는 두 정수”라는 문장으로 조건을 바꾸자 6과 -4를 찾아 (x+6)(x-4)를 만들었다. 숫자와 제시 방식이 달라졌지만, 마지막 항의 부호를 먼저 보고 곱과 합을 동시에 검사하는 첫 행동은 유지됐다. 이 정도가 되어야 특정 답을 기억한 것이 아니라 x²+bx+c 인수분해의 원리를 새 조건에서도 꺼내 쓴 것으로 볼 수 있다.